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{{orphan|time=2018-02-01T16:24:23+00:00}}
'''线性矩阵不等式'''是[[凸优化]]中，具有形式：

<math>\operatorname{LMI}(y) := A_0+ y_1 A_1+y_2 A_2+\cdots +y_m A_m\geq0\,</math>

的表达式, 其中,
* <math>y=[y_i \, , ~i \! = \! 1, \dots, m]</math> 是一个实向量,
* <math>A_0, A_1, A_2, \dots, A_m</math> 是 <math>n \times n</math> 的[[实对称矩阵]] <math>\mathbb{S}^n</math>,
* <math>B\geq0 </math>是廣義的不等式，意思是在<math>\mathbb{S}^n</math>的半正定子空間 <math>\mathbb{S}_+</math>內，<math>B</math>是[[半正定]]矩陣。

线性矩阵不等式表示''y''的[[凸集]]限制條件。
== 應用 ==
有一些有效率的[[數值方法]]可以判斷线性矩阵不等式是否可行（是否存在向量''y''使得LMI(''y'')&nbsp;≥&nbsp;0），或解出有LMI限制條件的[[凸優化]]問題。
許多[[控制理论]]、[[系統識別]]及[[信号处理]]的最佳化問題都可以表示為线性矩阵不等式。线性矩阵不等式也可以應用在{{le|Polynomial SOS|Polynomial SOS}}中。原型的原始{{le|半定規劃|semidefinite programming}}及對偶半定規劃都是實線性函數的最小化，分別屬於控制此LMI的原始{{le|凸錐|convex cone}}及對偶凸錐。
== 求解 ==
凸優化的主要突破是導入了{{le|内点法|interior-point method}}。這個方法是在一系列的論文中發展的。在Yurii Nesterov及Arkadii Nemirovskii探討LMI問題的論文中引起學術界的注意。

== 參考資料 ==
* Y. Nesterov and A. Nemirovsky, ''Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming.'' SIAM, 1994.

== 外部連結 ==
* S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, [http://www.stanford.edu/~boyd/lmibook/ Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory]  (book in pdf)
* C. Scherer and S. Weiland [https://web.archive.org/web/20110930202216/http://www.dcsc.tudelft.nl/~cscherer/lmi.html Course on Linear Matrix Inequalities in Control], Dutch Institute of Systems and Control (DISC).

[[分类:矩阵]]
[[分类:不等式]]