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在[[数学分析]]中，'''终值定理'''（Final Value Theorem, FVT）是将时间趋于无穷时的[[时域]]表达式与[[频域]]行为建立联系的许多定理之一。终值定理允许直接对频域表达式取极限来计算时域行为，无需先转换到时域表达式再取极限。

在数学上，如果
:<math>\lim_{t\to\infty}f(t)</math>
有一个有限极限，那么
:<math>\lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\to 0}{sF(s)}</math>
其中 <math>F(s)</math> 为 <math>f(t)</math> 的（单边）[[拉普拉斯变换]]。<ref name="RWang2010">{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html |title=Initial and Final Value Theorems |first=Ruye |last=Wang |date=2010-02-17 |accessdate=2011-10-21}}</ref><ref name="OppenheimWillskyNawab1997">{{cite book |isbn=0-13-814757-4 |title=Signals &amp; Systems |author=Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab |location=New Jersey, USA |publisher=Prentice Hall |year=1997}}</ref>

同样，在离散时间中
:<math>\lim_{k\to\infty}f[k] = \lim_{z\to 1}{(z-1)F(z)}</math>
其中 <math>F(z)</math> 为 <math>f[k]</math> 的[[Z轉換]]。<ref name="OppenheimWillskyNawab1997">{{cite book |isbn=0-13-814757-4 |title=Signals &amp; Systems |author=Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab |location=New Jersey, USA |publisher=Prentice Hall |year=1997}}</ref>

== 证明 ==
通过对导数的拉普拉斯变换定义积分得：
:<math>\lim_{s \to 0}\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=\lim_{s \to 0}[sF(s)-f(0)]</math>
''如果''右侧的无穷积分存在，则积分的极限可以写作极限的积分，因此：<ref name="Chau2002">{{cite book|author=Pao C. Chau|title=Process Control: A First Course with MATLAB|url=http://books.google.com/books?id=EwviEgg-mAQC&pg=PA15|date=26 August 2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-00255-4|pages=15}}</ref>
:<math>\int_{0}^{\infty}\lim_{s \to 0}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty}df(t)=f(\infty)-f(0)</math>
通过令上面两个等式的右侧相等，两边同时消去 f(0) 得：
:<math>f(\infty)=\lim_{s \to 0}[sF(s)]</math>

== 终值定理成立的例子 ==

{{Unreferenced section|date=2011年10月}}

例如，一个[[传递函数]]为
:<math>H(s) = \frac{ 6 }{s + 2},</math>
的系统，[[冲激响应]]收敛于
:<math>\lim_{t \to \infty} h(t) = \lim_{s \to 0} \frac{6s}{s+2} = 0.</math>
即系统在受到一个短暂的冲激后回归零值。而[[階躍響應|单位阶跃响应]]的拉普拉斯变换为
:<math>G(s) = \frac{1}{s} \frac{6}{s+2}</math>
因此，阶跃响应收敛于
:<math>\lim_{t \to \infty} g(t) = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s} \frac{6}{s+2} = \frac{6}{2} = 3</math>
于是一个零状态系统会按照指数增长到终值3。

== 终值定理不成立的例子 ==

{{Unreferenced section|date=2011年10月}}

然而，对于传递函数为
:<math>H(s) = \frac{9}{s^2 + 9},</math>
的系统，终值定理''似乎''预测冲激响应的终值为 0 而阶跃响应的终值为 1。但是时域极限不存在，所以预测没有价值。事实上，无论冲激响应还是阶跃响应都会振荡，并且（在这种特殊情况下）终值定理描述的是响应震荡的平均值。 

在[[控制理论]]中有两种检验终值定理结果有效性的方法：
# <math>H(s)</math> 的分母为零的所有根的实部必须为负值。
# <math>H(s)</math> 在原点处不能有多于一个极点。

这个例子不满足规则1，因为分母为零的根为 <math>0+j3</math> 和 <math>0-j3</math>。

==参见==
* [[初值定理]]
* [[Z轉換]]
* [[拉普拉斯变换]]

==注释==
<references />

==外部链接==
*https://archive.is/20130119194726/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
*http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Final value for Laplace
*https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf Final value proof for Z-transforms

[[Category:傅里叶分析中的定理]]