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'''絕熱指數'''（{{lang-en|adiabatic index}}）是指等壓[[熱容]]（<math>C_P</math>）和等容（等體積）熱容（<math>C_V</math>）的比值，也稱為'''熱容比'''（{{lang-en|heat capacity ratio}}）、'''比熱比'''（{{lang-en|specific heat ratio}}）或'''絕熱膨脹係數'''（{{lang-en|isentropic expansion factor}}），常用符號<math>\gamma</math>或<math>\kappa</math>表示。後者常在[[化學工程]]領域中使用，在[[機械工程]]領域中，會使用字母K表示絕熱指數<ref>{{cite book| author = Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald| title=Introduction to Fluid Mechanics| publisher=Wiley | isbn=9780471202318  | year=2008 |edition=6th}}</ref>：
:<math> \gamma = \frac{C_P}{C_v} = \frac{c_P}{c_v}</math>

其中，<math>C</math>是氣體的熱容，<math>c</math>是氣體[[比熱容]]，而下標<math>P</math>及<math>v</math>分別表示在等壓條件及等體積條件下的結果。

絕熱指數也可表示為以下的形式

:<math> \gamma = \frac{C_{P,m}}{C_{v,m}}</math>

其中，<math>C_{P,m}</math>是氣體的等壓莫耳熱容，也就是一莫耳氣體的等壓熱容，<math>C_{v,m}</math>是氣體的等容莫耳熱容。

絕熱指數也是[[理想氣體]]在[[等熵過程]]（[[準靜態過程|準靜態]]、[[可逆過程|可逆]]的[[絕熱過程]]）下的多方指數，即以下體積和壓強關係式中體積的次方：

:<math> pV^\gamma = \text{const} </math>

其中 <math>p</math> 是壓強而 <math>V</math> 是體積。

== 理想氣體的绝热指數 ==
[[理想氣體]]的熱容不隨溫度變化。[[焓]]及[[內能]]分別為<math>H = C_p T</math>及<math>U = C_V T</math>。因此绝热指數也可以視為是[[焓]]及[[內能]]的比值：
:<math> \gamma = \frac{H}{U}</math> 

理想氣體的定壓莫耳熱容及定容莫耳熱容及[[氣體常數]]（<math>R</math>）之間有以下的關係
:<math> C_{p,m} - C_{V,m} = R \!</math>

因此莫耳熱容也可以用绝热指數（<math>\gamma</math>）及氣體常數表示：
:<math> C_{p,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \qquad \mbox{,} \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}</math>

=== 和自由度的關係 ===
{| class="wikitable" style="float: right; clear: right"
|+ 理想氣體分子的原子數和等容摩爾熱容（<math> C_{V,m} </math>）、等壓摩爾熱容（<math> C_{p,m} </math>）及绝热指数<math> \kappa </math>之間的關係
|- class="hintergrundfarbe6"
!                !! <math> C_{V,m} </math>                 !! <math> C_{p,m} </math>                 !! <math> \kappa=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}} </math>
|-
| 單原子氣體 || <math> \frac{3}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{5}{2} \cdot R </math> ||style="text-align:center"|  <math> \frac{5}{3}=1.\overline{6} </math>
|-
| 雙原子氣體 || <math> \frac{5}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{7}{2} \cdot R </math> ||style="text-align:center"|  <math> \frac{7}{5}=1.4 </math>
|-
| 三原子氣體 || <math> \frac{6}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{8}{2} \cdot  R </math> ||style="text-align:center"| <math> \frac{4}{3}=1.\overline{3} </math>
|}

理想氣體的绝热指數（<math>\gamma</math>）和分子的[[自由度 (物理學)|自由度]]之間，有以下的關係：
:<math> \gamma\ = \frac{f+2}{f}\qquad \mbox{, } \qquad f = \frac{2}{\gamma-1}</math>

[[單原子]]氣體的自由度是3，因此绝热指數為：
:<math> \gamma\ = \frac{5}{3} \approx 1.67</math>,
[[雙原子分子|雙原子]]氣體，在室溫下的自由度為5（平移自由度3，旋轉自由度2，室溫下不考慮振動自由度），因此绝热指數為：
:<math> \gamma = \frac{7}{5} = 1.4</math>.

[[空氣]]主要由雙原子氣體組成，包括約78%的[[氮氣]]（N<sub>2</sub>）及約21%的[[氧氣]]（O<sub>2</sub>），室溫下的乾燥空氣可視為理想氣體，因此其绝热指數為：
: <math>\gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4</math>. 

以上數據和實際量測而得的數據1.403相當接近。

==熱力學的關係==
在一些特定的工程應用中（如計算氣體經過導管或閥的流速），<math>C_p - C_v = n R</math>（n為莫耳數）的關係不夠準確，因此定體積熱容<math>C_v</math>需要由實測求得，若依下式計算定體積熱容<math>C_v</math>，即得求得精確的绝热指數<math>\frac{C_p}{C_v}</math>：

:<math> C_p - C_v \ = \ -T \frac{{\left( {\frac{\partial V}{\partial T}} \right)_P^2 }} {\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T} \ = \ -T \frac{{ \left( {\frac{\partial P}{\partial T}} \right) }^2} {\frac{\partial P}{\partial V}} </math>

其中<math>C_p</math>的數值可以由查表求得。<!--[[Relations between specific heats|See here]] for the derivation of the thermodynamic relations between the heat capacities.-->

上述的定義可由來推導嚴謹的[[狀態方程式]]（例如Peng-Robinson狀態方程式），這些方程式所求得的值和實測值非常接近，因此定體積熱容或绝热指數可直接用方程式計算，不需查表。也可以利用[[有限差分法]]來計算其數值。

== 各種氣體的绝热指数 ==
<!--style="float: right; clear: right; margin: 0 0 1em 1em; border-collapse: collapse;"-->
{| class="toccolours" border="1" style="margin: 0 0 1em 1em; border-collapse: collapse;"
! colspan="11" align="center" style="background:#ffdead;"| 各種氣體的绝热指数<ref>White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill</ref><ref>Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524</ref>
|-
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | 溫度
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | 氣體
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | ''γ''
| bgcolor="#F8EABA" width="10" rowspan="17" | &nbsp;
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | 溫度
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | 氣體
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | ''γ''
| bgcolor="#F8EABA" width="10" rowspan="17" | &nbsp;
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | 溫度
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | 氣體
| bgcolor="#E0E0E0" align="center" | ''γ''
|-
| −181°C
| rowspan="7" align="center" | H<sub>2</sub>
| 1.597
| 200°C
| rowspan="4" align="center" | 乾空氣
| 1.398
| 20°C
| align="center" | NO
| 1.400
|-
| −76°C
| 1.453
| 400°C
| 1.393
| 20°C
| align="center" | N<sub>2</sub>O
| 1.310
|-
| 20°C
| 1.410
| 1000°C
| 1.365
| −181°C
| rowspan="2" align="center"| N<sub>2</sub>
| 1.470
|-
| 100°C
| 1.404
| 2000°C
| 1.088
| 15°C
| 1.404
|-
| 400°C
| 1.387
| 0°C
| rowspan="5" align="center" | CO<sub>2</sub>
| 1.310
| 20°C
|  align="center" | Cl<sub>2</sub>
| 1.340
|-
| 1000°C
| 1.358
| 20°C
| 1.300
| −115°C
| rowspan="3" align="center" | CH<sub>4</sub>
| 1.410
|-
| 2000°C
| 1.318
| 100°C
| 1.281
| −74°C
| 1.350
|-
| 20°C
| align="center" | He
| 1.660
| 400°C
| 1.235
| 20°C
| 1.320
|-
| 20°C
| rowspan="3" align="center" | H<sub>2</sub>O</td>
| 1.330
| 1000°C
| 1.195
| 15°C
| align="center" | NH<sub>3</sub>
| 1.310
|-
| 100°C
| 1.324
| 20°C
| align="center" | CO
| 1.400
| 19°C
| align="center" | Ne
| 1.640
|-
| 200°C
| 1.310
| −181°C
| rowspan="6" align="center" | O<sub>2</sub>
| 1.450
| 19°C
| align="center" | Xe
| 1.660
|-
| −180°C
| rowspan="2" align="center" | Ar
| 1.760
| −76°C
| 1.415
| 19°C
| align="center" | Kr
| 1.680
|-
| 20°C
| 1.670
| 20°C
| 1.400
| 15°C
| align="center" | SO<sub>2</sub>
| 1.290
|-
| 0°C
| rowspan="3" align="center" | 濕空氣
| 1.403
| 100°C
| 1.399
| 360°C
| align="center" | Hg
| 1.670
|-
| 20°C
| 1.400
| 200°C
| 1.397
| 15°C
| align="center" | C<sub>2</sub>H<sub>6</sub>
| 1.220
|-
| 100°C
| 1.401
| 400°C
| 1.394
| 16°C
| align="center" | C<sub>3</sub>H<sub>8</sub>
| 1.130
|}

== 參照 ==
*[[热容]]
*[[比熱容]]
*[[音速]]
*{{le|熱力學方程式|Thermodynamic equations}}
*[[熱力學]]
*[[容積熱容]]

== 參考 ==
{{reflist}}

[[Category:热力学]]
[[Category:比率]]
[[Category:物理量]]