查看“维拉宿代数”的源代码

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'''维拉宿代數'''（Virasoro algebra）是[[單位圓]]上[[微分算子]]所組成的[[李代數]]的{{link-en|中心拓展|central extension}}，在複數域上的無限維李代數。這與{{le|仿射李代數|Affine Lie algebra|仿射Kac-Moody代數}}關係密切（參看[[Sugawara構造]]）。Virasoro 代數的[[么正表示]]描繪兩維[[共形場論]]的[[對稱性]]。

== 定義 ==
'''维拉宿代數'''是一[[李代數]]，生成元是
*<math>{L_n : n\in\mathbb{Z}}</math>, 
*c ，
*符合：<math>[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} + \delta_{m+n} \frac{(m^3-m)}{12} c</math>
==推导==
维拉宿代數可以被认为是以下{{link-en|Witt 代数|Witt algebra}} 的 {{link-en|中心拓展|central extension}}:

<math>[l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n}</math>,

<math>[\bar{l}_m,\bar{l}_n]=(m-n)\bar{l}_{m+n}</math>,

<math>[l_m,\bar{l}_n]=0</math>.

对于一李代数<math>\ {\bf g}</math>, 其在复数域<math>\ {\bf C}</math>的 central extension<math>\ \tilde{g}</math> 满足下列[[交换子]]:

<math> [\tilde{x},\tilde{y}]_{\tilde{g}}=[x,y]_{g}+c p(x,y),</math>

<math> [\tilde{x},c]_{\tilde{g}}=0,</math>

<math> [c,c]_{\tilde{g}}=0,</math>

其中<math>\ \tilde{x},\tilde{y}\in\tilde{g}, x,y\in g, c\in{\bf C}, p:\tilde{g}\times\tilde{g}\rightarrow{\bf C}</math>. 由此定义, 维拉宿代數的生成元满足以下交换子

<math>[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} +c p(m,n)</math>.

<math>p(m,n)</math>可以由以下条件决定:
* 交换子必须是反对易的, 所以<math>p(m,n)=-p(n,m)</math>
* 可以观察到, 如果定义以下生成元
<math>\hat{L}_n=L_n+\frac{cp(n,0)}{n}, n\neq0</math>

<math>\hat{L}_0=L_0+\frac{cp(1,-1)}{2},</math>

它们满足

<math>[\hat{L}_n,\hat{L}_0] = n L_n+cp(n,0)=n\hat{L}_n,</math>

<math>[\hat{L}_{1},\hat{L}_{-1}] = 2 L_0+cp(1,-1)=2\hat{L}_0.</math>

比较函数<math>p(m,n)</math>的定义可以得知,<math> p(1,-1)</math>与<math>p(n,0)</math>总是可以被设为0.
*交换子满足[[雅可比恒等式]],即

:{|
<math>\ 0=[[L_m,L_n],L_0]+[[L_n,L_0],L_m]+[[L_0,L_m],L_n]</math>
|-
|
|<math>\ =(m-n)cp(m+n,0)+ncp(n,m)-mcp(m,n)</math>
|-
|
|<math>\ =(m+n)p(n,m)</math>
|}
所以<math>p(n,m)=0</math>如果<math>n\neq -m</math>, 即唯一的非零 central extension为<math>p(n,-n)</math>且<math>|n|>=2</math>.
*最后计算以下雅克比恒等式
:{|
<math>\ 0=[[L_{-n+1},L_n],L_{-1}]+[[L_n,L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_n]</math>
|-
|
<math>\ =(-2n+1)cp(1,-1)+(n+1)cp(n-1,-n+1)+(n-1)cp(-n,n)</math>
|-
|
|}
可知<math>p(m,n)</math>满足以下递推公式
:{|
|<math>\ p(n,-n)=\frac{n+1}{n-2}p(n-1,-n+1) </math>
|-
|
<math>\ =\frac{n+1}{n-2}\frac{n}{n-3}p(n-2,-n+2)</math>=...
|-
|
<math>\ =\frac{n+1}{n-2}\frac{n}{n-3}...\frac{4}{1}p(2,-2)</math>
|-
|
<math>\ ={n+1 \choose 3}\frac{1}{2}</math>
|-
|
<math>\ =\frac{1}{12}(n+1)n(n-1),</math>
|-
|
|}
其中归一化条件为<math>p(2,-2)=\frac{1}{2}</math>.综上所述, Witt algebra在复数域唯一非零的central extension, 即维拉宿代数的生成元满足以下交换子

<math>[L_m,L_n] = (m-n) L_{m+n} +c \frac{1}{12}(n+1)n(n-1)\delta_{m+n,0}</math>.

==局部保角变换==

==群表示论==

==Verma模==

==超对称维拉宿代数==

== 註 ==
{{reflist}}

== 參考 ==
*V.G. Kac: "''Infinite dimensional Lie algebras''", Cambridge University Press
*V.G. Kac / A.K. Raina : "''Bombay Lectures on highest weight representations''" , World Scientific, Singapore
*Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
*Wakimoto: "''Infinite-dimensional Lie algebras''" （日語書《無限次元環》的譯本）, American Mathematical Society
*Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15

[[Category:代數結構]]
[[Category:李代數]]
[[Category:表示論]]
[[Category:共形場論]]