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{{merge|理发师悖论|discuss=Talk:罗素悖论#请求与理发师悖论合并|time=2015-07-31T18:31:24+00:00}}
'''罗素悖论'''（{{lang-en|Russell's paradox}}），也称为'''理发师悖论'''，是[[英國]][[哲學家]][[伯特兰·罗素|罗素]]於1901年提出的[[悖论]]，一个关于[[类 (数学)|类]]的内涵问题。

==羅素悖論==
我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有[[集合 (数学)|集合]]總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：

'''罗素悖论'''：设有一性質<math> P </math>(例如："年滿三十歲"就是一個性質)，並立以一性質函数：<math>P(x)</math>，且其中的自變量x有此特性：<math> x \not \in x </math>，

现假设由性质P能夠确定一个滿足性質<math> P </math>的集合<math> A </math>——也就是说 <math> A = \{ x \mid x \not \in x \} </math>。那么现在的问题是<math> A \in A</math>是否成立？

首先，若<math> A \in A</math>，则<math> A </math>是<math> A </math>的元素，那么<math> A </math>具有性质<math> P </math>，由性質函数<math> P </math>可以得知<math> A \not \in A</math>；

其次，若<math> A \not \in A</math>，根據定義，<math> A </math>是由所有滿足性質<math> P </math>的類組成，也就是说，<math> A </math>具有性质P，所以<math> A \in A</math>。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如[[理发师悖论]]、书目悖论。但[[理髮師悖論]]被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。

罗素悖论在类的理论中通过[[内涵公理]]而得到解决。

==理发师悖论和罗素悖论等价==
理发师悖论和罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。<ref>{{Cite web|title=Russell's Paradox|url=https://mitpress.mit.edu/read/russells-paradox|accessdate=2019-08-30|last=Press|first=The MIT|work=The MIT Press|language=en}}</ref>

另一種等價的悖論為書目悖論，第一類的書的[[目錄]]有它自己的[[條目]]，經典的例子就是[[維基百科]]，第二類的書目錄則沒有它自己的條目，一般的書目都是如此，問：若把所有第二類的書做個總目錄，它應不應該含有它自己的條目？

==参考条目==
*[[理发师悖论]]
*[[公理化数学]]
*[[类的理论]]
*[[罗素公理体系]]

[[Category:集合论悖论|Russell's paradox]]
[[Category:伯特兰·罗素]]