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{{NoteTA|G1=Math|G2=Physics}}
在[[數學]]裏，作用於一個有限維的[[酉空間]]，一個'''自伴算子'''（{{lang|en|self-adjoint operator}}）等於自己的[[伴隨算子]]；等價地說，在一组单位酉正交基下，表達自伴算子的[[矩陣]]是[[埃爾米特矩陣]]。埃爾米特矩陣等於自己的[[共軛轉置]]。根據有限維的[[譜定理]]，必定存在著一個[[正交歸一性|正交歸一基]]，可以表達自伴算子為一個[[實數|實值]]的[[對角矩陣]]。

==量子力學==
{{物理算符}}
在[[量子力學]]裏，'''自伴算子'''，又稱為'''自伴算符'''，或'''厄米算符'''（{{lang|en|Hermitian operator}}），是一種等於自己的[[厄米共軛]]的[[算符]]。給予算符<math>\hat{O}\,\!</math>和其[[伴隨算符]]<math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>，假設<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>  ，則稱<math>\hat{O}\,\!</math>為厄米算符。厄米算符的[[期望值]]可以表示量子力学中的物理量。

===可觀察量===
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量<math>O\,\!</math>的期望值是實值的：
:<math>\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!</math>。

對於任意量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>，這關係都成立；
:<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!</math>。

根據[[伴隨算符]]的定義，假設<math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>是<math>\hat{O}\,\!</math>的伴隨算符，則<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!</math>。因此，
:<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>。

這正是[[厄米算符]]的定義。所以，表示可觀察量的算符<math>\hat{O}\,\!</math>，都是厄米算符。

[[可觀察量]]，像[[位置]]，[[動量]]，[[角動量]]，和[[自旋]]，都是用作用於[[希爾伯特空間]]的自伴算符來代表。[[哈密頓算符]]<math>\hat{H}\,\!</math>是一個很重要的自伴算符，表達為
:<math> \hat{H} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + V \psi \,\!</math>；

其中，<math>\psi\,\!</math>是粒子的[[波函數]]，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math>是[[質量]]，<math>V\,\!</math>是[[位勢]]。

哈密頓算符所代表的[[哈密頓量]]是粒子的總[[能量]]，一個[[可觀察量]]。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>的波函數為<math>\psi(x)\,\!</math>，
:<math>\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^*\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle
\,\!</math>。

對於任意量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>，<math>\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!</math>。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

==參考文獻==
{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=pp. 96-106}}
{{泛函分析}}
[[Category:算子理論|Z]]
[[Category:線性代數|Z]]