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{{NoteTA|G1=Math}}

[[File:Cayley graph of F2.svg|right|thumb|由兩個元素a, b 生成的自由群的[[凱萊圖]]]]

在[[數學]]中，一個[[群]] <math>G</math> 被稱作'''自由群'''，如果存在 <math>G</math> 的子集 <math>S</math> 使得 <math>G</math> 的任何元素都能唯一地表成由 <math>S</math> 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 <math>st^{-1}=su^{-1}ut^{-1}</math> 之類）；此時也稱 <math>G</math> 為集合 <math>S</math> 上的'''自由群'''，其群結構決定於集合 <math>S</math>，記為 <math>F(S)</math>，<math>S</math> 稱作一組'''基底'''。按照[[範疇論]]的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的[[自由對象]]。

一個相關但略有不同的概念是{{link-en|自由阿貝爾群|free abelian group}}。

==歷史==
在1882年，Walther Dyck 在發表於 ''Mathematische Annalen'' 的論文 ''Gruppentheoretische Studien'' 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

==例子==
[[File:Bouquetcircles.svg|thumb|150px|right|2個圓環的集束]]
* [[整數]]的加法群 <math>(\mathbb{Z},+)</math> 是自由群；事實上我們可取 <math>S := \{1\}</math>。
* 在[[巴拿赫-塔斯基悖論]]的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。
* 在[[代數拓撲|代數拓撲學]]中，<math>k</math> 個圓環的集束（即：<math>k</math> 個只交於一點的圓環，見右圖）的[[基本群]]是 <math>k</math> 個生成元的自由群。

==建構方式==
今將構造集合 <math>S</math> 上之自由群 <math>F(S)</math>，分解動作如下。
# 對任何 <math>s \in S</math>，引入符號 <math>s^{-1}</math>，稱作 <math>s</math> 的逆元。
# 考慮所有由符號 <math>s, s^{-1} \; (s \in S) </math> 構成的有限[[字 (群論)|字串]]。
# 如果一個字串能透過將 <math>ss^{-1}</math> 或 <math>s^{-1}s</math> 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一[[等價關係]]，其商集（等價類構成的集合）記作 <math>F(S)</math>。
# 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：<math>x \sim y, x' \sim y' \Rightarrow xx' \sim yy'</math>。故字串接合在 <math>F(S)</math> 導出二元運算，並滿足交換律。
# 取 <math>F(S)</math> 及字串接合運算構成一個群，字串 <math>s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1}</math> 之逆為 <math>s_n^{\mp 1} \cdots s_1^{\mp 1}</math>。此即所求。

若 <math>S</math> 為空集，則 <math>F(S)</math> 為平凡群。

==泛性質==
上述構造 <math>F(S) </math> 帶有一個自然的集合映射 <math>\phi: S \rightarrow F(S)</math>。這對資料 <math>(F(S), \phi)</math> 滿足以下[[泛性質]]：

: 若 <math>G</math> 為群，<math>\psi: S \rightarrow G</math> 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 <math>f: F(S) \rightarrow G</math> 使得  <math>f \circ \phi = \psi</math>。

事實上我們僅須，也必須設 <math>f(s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1}) := \psi(s_1)^{\pm 1} \cdots \psi(p_n)^{\pm 1}</math> ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 <math>(F_1, \phi_1)</math>、<math>(F_2,\phi_2)</math> 至多差一個[[同構]]，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是[[泛代數]]中考慮的[[自由對象]]的特例，用範疇論的語言來說，函子 <math>F(-): S \mapsto F(S)</math> 是[[遺忘函子]]的左[[伴隨函子]]。

==性質與定理==
* 任何群 <math>G</math> 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 <math>S</math> 為 <math>G</math> 的一組生成集，&psi; 為包含映射即可。此時 <math>F(S) \rightarrow G</math> 的核 <math>R</math> 稱作'''關係'''，<math>F(S),K</math> 稱作 <math>G</math> 的一個'''[[群的展示|展示]]'''；若 <math>S</math> 有限，則稱之為'''有限展示'''。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的[[演算法]]。
* 如果 <math>S</math> 有超過一個元素，則 <math>F(S)</math> 非交換；事實上 <math>F(S)</math> 的[[中心_(群論)|中心]]只有單位元素。
* 任兩個自由群 <math>F(S), F(T)</math> 同構的充要條件是 <math>S, T</math> [[基數]]相同，此基數稱作自由群的'''階'''。

以下是一些相關定理：

* Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 <math>G</math> 為 <math>n</math> 階，<math>(G:H) = k</math>，則 <math>H</math> 為 <math>1-n+nk</math> 階（在此設 <math>n,k</math> 有限）。
* 設 <math>F</math> 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 <math>n</math>，<math>F</math> 中都存在 <math>n</math> 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉[[微分幾何]]或[[拓撲學]]工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於[[幾何群論]]的一支。

==自由阿貝爾群==
{{further|自由阿貝爾群}}

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到'''自由阿貝爾群'''的泛性質。集合 <math>S</math> 上的自由阿貝爾群可視為自由 <math>\mathbb{Z}</math>-[[模]]來構造，或取作 <math>F(S)</math> 的「交換化」： <math>F(S)/[F(S), F(S)]</math>（換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

==塔斯基的問題==
[[塔斯基]]在1945年左右提出下述問題：
: 兩個以上生成元的自由群是否有相同的[[模型論|一階理論]]？此理論是否[[可判定性|可判定]]？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [https://web.archive.org/web/20070527154242/http://www.grouptheory.org/nygtc/problems/probout.html] 的「O8」。

==文獻==
{{reflist}}
*{{citation|id=[[數學評論]]2293770
|last=Kharlampovich|first= Olga|last2= Myasnikov|first2= Alexei
|title=Elementary theory of free non-abelian groups
|journal=J. Algebra |volume=302 |year=2006|issue= 2|pages= 451–552
|doi=10.1016/j.jalgebra.2006.03.033 }} 
*W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

*{{citation|id=[[數學評論]]2238945
|last=Sela|first= Z.
|title=Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group. 
|journal=Geom. Funct. Anal. 16 |year=2006|issue= 3|pages= 707–730}} 
*J.-P. Serre, ''Trees'', Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL<sub>2</sub>", 3rd edition, ''astérisque'' '''46''' (1983))

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論|Z]]
[[Category:組合群論]]
[[Category:自由代数结构]]