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{{noteTA
|G1=Math
|G2=Signals and Systems
}}
[[File:Acf new.svg|thumb|right|上面：100个随机数序列的图，其中隐含了一个[[正弦]]函数。下面：自相关函数产生的{{le|相关图|correlogram}}显示出的正弦函数。]]
[[File:Comparison convolution correlation.svg|thumb|300px|[[卷积]]、[[互相关]]和自相关的可视化比较。]]

'''自相关'''（{{lang-en|'''Autocorrelation'''}}），也叫'''序列相关'''<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=V46p_mH99m8C|title=Topics in Market Microstructure|last=Zovko|first=Ilija I.|date=2008-09-01|publisher=Amsterdam University Press|isbn=9789056295387|language=en}}</ref>，是一个[[信号 (信息论)|信号]]于其自身在不同时间点的[[互相关]]。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号[[谐波]]频率中[[消失的基頻]]的数学工具。它常用于[[信号处理]]中，用来分析函数或一系列值，如[[時域]]信号。

==定义==
自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于[[自协方差]]。
===统计学===
将一个有序的随机变量序列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的序列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果序列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。
:<math>R(k) = \frac{E[(X_i - \mu_i)(X_{i+k} - \mu_{i+k})]}{\sigma^2}</math>
:<math>E</math> ......... 期望值。
:<math>X_i</math> ........ 在t(i)时的随机变量值。
:<math>\mu_i</math> ........ 在t(i)时的预期值。
:<math>X_{i+k}</math> .... 在t(i+k)时的随机变量值。
:<math>\mu_{i+k}</math> .... 在t(i+k)时的预期值。
:<math>\sigma^2</math> ......... 为方差。
所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大負相关值，0為不相關。

===信号处理===

在[[信号处理]]中，上面的定义通常不进行归一化，即不减去均值并除以方差。当自相关函数由均值和方差归一化时，有时会被称作'''自相关系数'''。<ref name="dunn">{{cite book |first=Patrick F. |last=Dunn |title=Measurement and Data Analysis for Engineering and Science |location=New York |publisher=McGraw–Hill |year=2005 |isbn=0-07-282538-3 }}</ref>

给定一个[[信号 (信息论)|信号]] <math>f(t)</math>，连续自相关函数 <math>R_{ff}(\tau)</math> 通常定义为 <math>f(t)</math> 与其自身延迟 <math>\tau</math> 的连续互相关。

:<math>R_{ff}(\tau) = (f * g_{-1}(\overline{f}))(\tau) = \int_{-\infty}^\infty f(u+\tau)\overline{f}(u)\, {\rm d}u = \int_{-\infty}^\infty f(u)\overline{f}(u-\tau)\, {\rm d}u</math>

其中 <math>\overline{f}</math> 表示[[共轭复数]]，<math>g_{-1}</math> 是对函数 <math>f</math> 操作的一个函数，定义为 <math>g_{-1}(f)(u)=f(-u)</math> 而 <math>*</math> 表示[[卷积]]。

对于{{le|实值函数|real function}}，<math>\overline{f} = f</math>。

注意积分中的参数 <math>u</math> 是一个虚变量，并且只对计算积分有用。没有具体含义。

离散信号 <math>y(n)</math> 的延迟为 <math>l</math> 的离散自相关 <math>R</math> 是

:<math>R_{yy}(l) = \sum_{n \in Z} y(n)\,\overline{y}(n-l).</math>

上述定义在信号平方可积或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。但“永远持续”的信号被处理成随机过程，就需要使用基于期望值的与之不同的定义。对于[[平稳过程|宽平稳随机过程]]，自相关函数定义为

:<math>R_{ff}(\tau) = \operatorname{E}\left[f(t)\overline{f}(t-\tau)\right]</math>
:<math>R_{yy}(l) = \operatorname{E}\left[y(n)\,\overline{y}(n-l)\right].</math>

对于非[[平稳过程]]，这些也会是 <math>t</math> 或者 <math>n</math> 的函数。

对于还是{{le|各态历经过程|Ergodic process|可遍历}}的过程, 期望会被换成时间平均的极限。各态历经过程的自相关函数有时定义为或等于<ref name="dunn"/>

:<math>R_{ff}(\tau) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_0^T f(t+\tau)\overline{f}(t)\, {\rm d}t</math>
:<math>R_{yy}(l) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}y(n)\,\overline{y}(n-l).</math>

这些定义的优点是，它们合理定义了周期函数的单变量结果，甚至当那些函数不是平稳各态历经过程时。

此外，「永远持续」的信号可以通过短时距自相关函数使用有限时间积分来处理（相关过程参见[[短時距傅立葉變換]]。）

多[[維度|维]]自相关定义类似。例如，在[[三維空間|三维]]中， 平方可和的[[离散信号]]的自相关就会是

:<math>R(j,k,\ell) = \sum_{n,q,r} x_{n,q,r}\,x_{n-j,q-k,r-\ell}.</math>

若在求自相关函数之前从信号中减去均值，得出的函数通常称为自协方差函数。

==自相关函数的性质==
以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。
*对称性：从定义显然可以看出''R''(''i'')&nbsp;=&nbsp;''R''(&minus;''i'')。连续型自相关函数为[[偶函数]]
:当f为[[实函数]]时，有：
::<math>R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,</math>

:当f是[[复函数]]时，该自相关函数是[[厄米函数]]，满足：
::<math>R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,</math>
:其中星号表示[[共轭]]。

*连续型实自相关函数的峰值在[[原点]]取得，即对于任何延时 ''&tau;''，均有 <math>|R_f(\tau)| \leq R_f(0)</math>。该结论可直接有[[柯西-施瓦茨不等式]]得到。离散型自相关函数亦有此结论。

*[[周期函数]]的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

*两个相互无关的函数（即对于所有 &tau;，两函数的[[互相关]]均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

*由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

*连续时间[[白噪声]]信号的自相关函数是一个[[δ函数]]，在除 &tau;&nbsp;=&nbsp;0 之外的所有点均为0。

*[[维纳-辛钦定理]]表明，自相关函数和[[功率谱密度]]函数是一对[[傅里叶变换]]对：

::<math>R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df</math>

::<math>S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.</math>

*实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时[[维纳-辛钦定理]]中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

::<math>R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df</math>

::<math>S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.</math>

==自相关函数举例==
[[白噪声]]的自相关函数为''&delta;''函数：
:<math>r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )</math>

==应用==
*信号处理中，自相关可以提供关于重复事件的信息，例如音乐节拍（例如，确定节奏）或脉冲星的频率（虽然它不能告诉我们节拍的位置）。另外，它也可以用来估计乐音的音高。

==参考文献==
<references/>

[[Category:协方差与相关性]]
[[Category:信号处理|Z]]
[[Category:傅里叶分析|Z]]
[[Category:时间序列|Z]]
[[Category:计量经济学|Z]]
[[Category:函数|Z]]