查看“舊量子論”的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}

'''舊量子論'''是一些比現代[[量子力學]]還早期，出現於1900年至1925年之間的量子理論。雖然並不很完整或一致，這些[[啟發式]]理論是對於[[經典力學]]所做的最初始的量子修正<ref>{{cite book|last = ter Haar|first =D.|title =The Old Quantum Theory|publisher=Pergamon Press|date=1967|pages =pp. 206}}</ref>。舊量子論最亮麗輝煌的貢獻無疑應屬[[波耳模型]]。自從[[夫朗和斐]]於1814年發現了太陽光譜的[[譜線]]之後，經過近百年的努力，物理學家仍舊無法找到一個合理的解釋。而波耳的模型居然能以簡單的算術公式，準確地計算出[[氫原子]]的譜線。這驚人的結果給予了科學家無比的鼓勵和振奮，他們的確是朝著正確的方向前進。很多年輕有為的物理學家，都開始研究量子方面的物理。因為，可以得到很多珍貴的結果。

直到今天，舊量子論仍舊有聲有色地存在著。它已經轉變成一種半古典近似方法，稱為[[WKB近似]]。許多物理學家時常會使用WKB近似來解析一些極困難的量子問題。在1970年代和1980年代，物理學家[[古茨威勒|马丁·古茨威勒]](Martin Gutzwiller)發現了怎樣半經典地解析[[混沌理論]]之後<ref>{{Citation|last = Gutzwiller|first = Martin|title = Effect of correlation on the ferromagnetism of transition metals|journal = Physical Review Letters|volume = 10|issue = 5|pages = pp. 159-162|year = 1963}}</ref><ref>{{Citation|last = Gutzwiller|first = Martin|title = Correlation of Electrons in a Narrow s Band|journal = Physical Review|volume = 137|pages = pp. A1726-A1735|year = 1965}}</ref>，這研究領域又變得非常熱門。（參閱[[量子混沌理論]] ({{lang|en|quantum chaos}})）。

== 基本原理 ==
舊量子論的基本原理談到原子系統的運動是[[量子化]]的，[[離散量|離散]]的。原子系統遵守經典力學；但不是每一種運動都合法，只有那些遵守'''舊量子條件'''的運動是合法的：
:<math>\oint p_i dq_i = n_i h\,\!</math>；

其中，<math>p_i\,\!</math>是[[動量]]，<math>q_i\,\!</math>是對應的[[坐標]]，<math>n_i\,\!</math>是[[整數]]的[[量子數]]，<math>h\,\!</math>是[[普朗克常數]]。

舊量子條件又稱為'''威爾森-索末菲量子化定則'''，是由威爾森<ref>{{Citation|last = Wilson|first=W.|title = The quantum theory of radiation and line spectra|journal = Philosophical Magazine|volume = 29|pages = pp. 795-802|year = 1915}}</ref>和索末菲<ref name="Somm1916">{{Citation|last=索末菲|first=阿諾|author-link=阿諾·索末菲|title =Zur Quantentheorie der Spektrallinien|journal=Annalen der Physik|volume = 51|pages =pp. 1-94|year = 1916}}</ref>各自發現的。舊量子條件公式的閉路積分取於整個運動的一[[週期]]，是[[相空間]]的面積，稱為[[作用量]]。由於在這裏，作用量被量子化為以普朗克常數為單位的整數，因此，普朗克常數時常被稱為'''作用量的量子'''。

為了要符合舊量子條件，經典運動必須是[[哈密頓-亞可比方程式#分離變數法|可分的]]，意思是說，運動方程式可以分為幾個獨立部份，每一個獨立部份都包含了一個不同的坐標<math>q_i\,\!</math>，而每一個坐標的方程式部份所描述的運動都是[[週期性]]的。不同部份描述的運動不一定會有同樣的週期，它們的週期甚至是互相[[通約性|不可通約的]]。可是，整個系統必須有一組可分的坐標，每一個坐標的方程式部份都分別描述一個週期性的運動。

使用舊量子條件的動機，一個是[[對應原理]]，還有一個就是量子化的[[物理量]]必須是[[緩漸不變量]]的實際物理觀察。例如，給予[[諧振子]]的[[普朗克]]量子化定律，這兩個條件中，任意一個條件決定了量子化一個一般系統的正確經典物理量。

== 範例 ==
=== 諧振子 ===
在舊量子論裏，最簡單的系統，[[諧振子]]系統，其[[哈密頓量]]<math>H\,\!</math>是
:<math>H= {p^2 \over 2m} + {m\omega^2 q^2\over 2}\,\!</math>；

其中，<math>p\,\!</math>是動量，<math>m\,\!</math>是[[質量]]，<math>\omega\,\!</math>是[[角頻率]]，<math>q\,\!</math>是坐標。

哈密頓量<math>H\,\!</math>的[[等位集]]是[[橢圓]]形[[軌道 (力學)|軌道]]。哈密頓量<math>H\,\!</math>等於能量<math>E\,\!</math>。舊量子條件要求軌道在[[相空間]]所圍入的區域面積<math>A\,\!</math>必須是普朗克常數乘以整數倍數<math>n\,\!</math>。因此，
:<math>A=\pi ab=\pi{\sqrt{2mE}}{\sqrt{2E/m\omega^2}}=2\pi E/\omega=nh\,\!</math>；

其中，<math>a=\sqrt{2mE}\,\!</math>、<math>b=\sqrt{2E/m\omega^2}\,\!</math>分別是橢圓的半軸。

所以，依照威爾森-索末菲量子化定則能量<math>E\,\!</math>是
:<math>E= n\hbar \omega\,\!</math>；

其中，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]。

這眾所皆知的量子化能量結果，時常用來建立其它舊量子條件。

通過平均每一個離散態的能量，假設處於的[[量子態|離散態]]的[[機率]]是[[波茲曼分佈|波茲曼權]] ({{lang|en|Boltzmann distribution}})，量子化諧振子的熱性質可以用方程式表達為
:<math>U =3N \cfrac{\sum_n\hbar\omega n e^{ - n\hbar\omega/k_B T}}{\sum_n e^{ - n \hbar\omega/k_B T}} =3N \cfrac{\hbar \omega}{e^{\hbar\omega/k_B T} - 1}\,\!</math>；

其中，<math>N\,\!</math>是諧振子的總數，<math>U\,\!</math>是系統的熱能量，<math>k_B\,\!</math>是[[波茲曼常數]]。

由於每一個諧振子的自由度是3，所以熱能量方程式有一個係數<math>3N\,\!</math>。從上述公式，可以計算出諧振子的[[比熱]]：
:<math>C_V =\frac{\partial U}{\partial T} = 3N\frac{(\hbar\omega)^2}{k_B T^2} \frac{e^{\hbar\omega/k_B T}}{(e^{\hbar\omega/k_B T} - 1)^2}\,\!</math>。

上述這兩個方程式就是[[愛因斯坦模型]]的主要結果。當溫度<math>T\,\!</math>超高，<math>k_B T \gg \hbar\omega\,\!</math>的時候，熱能量和比熱分別近似為
:<math>U \to 3Nk_B T\,\!</math>、
:<math>C_V \to 3Nk_B \,\!</math>。

對於一個擁有<math>N\,\!</math>個諧振子的三維振動系統，這結果與經典的[[能量均分定理]]結果相符合。取能量量子趨向0的經典極限，<math>\hbar\omega \to 0\,\!</math>，則在任意溫度<math>T\,\!</math>，這結果都正確。

當<math>k_B T\,\!</math>超低，<math>k_B T \ll \hbar\omega\,\!</math>的時候，系統非常冷，諧振子的熱能量<math>U\,\!</math>會以[[指數函數]]趨向零，比熱的物理行為也一樣。在1900年前後，很多氣體、液體、固體的比熱實驗都得到了這非經典結果，證明了理論的正確性。

做實驗測量，在低溫時，固體的比熱較低。溫度越接近[[绝对零度]]，比熱就越接近零。通過研究和觀察[[熱力學第三定律]]的內容，可以推斷，對於所有物質，這句話都成立。早在十九世紀，[[詹姆斯·麥克斯韋]]尖銳的觀察力就發覺到這經典力學與冷材料比熱之間的矛盾。但是，研究物質原子理論的物理學家都被這謎團深深地困惑。1906年，為了解答這難題，[[阿爾伯特·愛因斯坦]]建議原子的運動是量子化的。他首先將量子理論應用於一個力學系統。不久之後，[[彼得·德拜]]應用量子化諧振子和其各種[[頻率]]，給出一個[[固體]]比熱的數量理論（參閱[[愛因斯坦模型]]和[[德拜模型]]）。

=== 一維位勢 ===
一維問題的解析相當容易。給予任意能量<math>E\,\!</math>，從[[能量守恆定律]]，可以計算出粒子的動量：
:<math>p=\sqrt{2m(E - V(q))}\,\!</math>；

其中，<math>V(q)\,\!</math>是坐標為<math>q\,\!</math>的地點的[[位勢]]。

'''轉向點'''是粒子動量消失的位置。在經典轉向點之間，將這動量的公式積分於所有<math>q\,\!</math>的可能值，再加入舊量子條件，就可以得到舊量子條件的方程式。

假設，這問題是[[盒中粒子]]問題。則舊量子條件方程式為
:<math>2\int_0^L p dq = nh\,\!</math>；

其中，<math>n\,\!</math>是[[正整數]]，<math>L\,\!</math>是盒子的長度。

那麼，容許的動量是
:<math>p= {nh \over 2L}\,\!</math>，

容許的離散[[能級]]是
:<math>E= {n^2 h^2 \over 8mL^2}\,\!</math>。

再擧一個簡單的一維案例。一個位於正[[直線|半直線]]的線性位勢，在<math>q=0\,\!</math>位置有一個無限大的位勢牆，在<math>q>0\,\!</math>區域，位勢與坐標成正比。使用量子力學正規理論的方法來解析是一個相當困難的工作；使用半經典方法，雖然解答不是解析解，而是近似解，但量子數越高，這解答越準確。不失去線性的一般性，可以將位勢表達為
:<math>V(q)= - Fq\,\!</math>；

其中，<math>F\,\!</math>是一個常數。

那麼，作用於粒子的力量是
:<math>F= - \frac{\partial V(q)}{\partial q}\,\!</math>。

舊量子條件是
:<math>2 \int_0^{E/F}\ \sqrt{2m(E - Fq)}\ dq = n h\,\!</math>。

經過一番運算，可以得到
:<math>\frac{4\sqrt{2m}E^{3/2}}{3F}=nh\,\!</math>。

所以，能級是
:<math>E =\left(\frac{3nhF}{4\sqrt{2m}}\right)^{2/3}\,\!</math>。

=== 旋轉子 ===
在一根長度為<math>R\,\!</math>的無質量剛杆的一端，連結著一個質量為<math>M\,\!</math>的粒子，稱這連結體為'''旋轉子'''。假設，剛杆的另外一端固定於一個固定點，則旋轉子可以繞著這固定點作[[旋轉運動]]。採用[[極坐標系]]，這旋轉子的旋轉運動的[[拉格朗日量]]<math>L\,\!</math>是
:<math>L = \frac{1}{2} MR^2\dot\theta^2 \,\!</math>；

其中，<math>\theta\,\!</math>是[[極坐標系|角坐標]]。

角坐標的[[共軛動量]]<math>J\,\!</math>是
:<math>J = MR^2 \dot\theta\,\!</math>。

舊量子條件要求<math>\theta\,\!</math>的週期、<math>J\,\!</math>，兩個物理量的乘積為普朗克常數乘以整數倍數<math>n\,\!</math>：
:<math>2\pi J = n h\,\!</math>。

也就是說，角動量<math>J\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]<math>\hbar\,\!</math>的整數倍數。將這舊量子條件帶入[[波耳模型]]，就可以得到[[氫原子]]的能級！
 
延伸至三維空間，採用[[球坐標系]]，旋轉子可以用[[天頂角]]<math>\theta\,\!</math>和[[方位角]]<math>\phi\,\!</math>來描述。拉格朗日量<math>L\,\!</math>是
:<math>L =  \frac{1}{2}MR^2\dot\theta^2 +  \frac{1}{2}MR^2(\sin\theta\dot\phi)^2\,\!</math>。

兩個共軛動量分別為
:<math>p_\theta = MR^2\dot\theta\,\!</math>、
:<math>p_\phi=MR^2\sin^2\theta \dot\phi\,\!</math>。

由於<math>L\,\!</math>顯性地跟[[方位角]]<math>\phi\,\!</math>無關，方位角<math>\phi\,\!</math>是一個[[循環坐標]]。<math>\phi\,\!</math>的運動方程式很簡單：
:<math>p_\phi = l_\phi\,\!</math>；

其中，常數<math>l_\phi\,\!</math>是角動量的z-分量。

舊量子條件要求常數<math>l_\phi\,\!</math>的積分，從[[弧度]]為<math>0\,\!</math>至<math>2\pi\,\!</math>，等於普朗克常數<math>\hbar\,\!</math>乘以整數倍數<math>m\,\!</math>。因此，
:<math>2\pi l_\phi = m h\,\!</math>。

整數倍數<math>m\,\!</math>就是[[磁量子數]]。假設在旋轉子一端的粒子帶有電荷，則角動量的z-分量是旋轉子沿著z方向的[[磁矩]]。

由於三維的旋轉子是繞著一個旋轉軸做旋轉運動，總角動量的限制應該與二維旋轉子的限制相同。兩個舊量子條件要求總角動量和其z-分量分別等於約化普朗克常數<math>\hbar\,\!</math>乘以整數倍數  <math>l\,\!</math>、<math>m\,\!</math>。現代量子力學可以複製這兩個舊量子條件。但是，在舊量子論時代，這兩個舊量子條件指引出一個[[弔詭]]：相對一個任意選定的z-軸，怎樣將角動量的[[取向]]量子化？這動作似乎特別選出了空間中的一個偏愛方向。

關於一個旋轉軸的角動量，其量子化稱為'''空間量子化'''。[[旋轉不變性]]的概念似乎與空間量子化不相容。現代量子力學也同樣地量子化角動量。但是，對於任意取向，明確的角動量離散態是其它取向的量子態的[[態疊加原理|疊加]]。因此，量子化過程並不會選出一個偏愛的旋轉軸。所以，空間量子化這術語不再被使用；而改稱為'''角動量量子化'''。

=== 氫原子 ===
[[氫原子]]物理的角部分只是一個旋轉子，給出量子數  <math>l\,\!</math>、<math>m\,\!</math>。剩餘的徑向部分是在位勢作用下的週期性一維運動，可以解析。

給予固定值的總角動量  <math>L\,\!</math>，一個經典[[克卜勒問題]]的哈密頓量  <math>H\,\!</math>是（為了簡化方程式，重定義質量的單位和能量的單位。這樣，可以吸收兩個常數：質量和[[庫侖定律]]的係數  <math>
\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\,\!</math>）<ref>{{cite book|last = Aruldhas|first = G.|title = Quantum Mechanics|publisher = Prentice-Hall of India Learning Pvt. Ltd.| date = 2004| pages = pp. 11|isbn =978-8120319622}}</ref>：
:<math>H= { p^2 \over 2 } + {L^2 \over 2 r^2 } - {1\over r}\,\!</math>；

其中，<math>r\,\!</math>是徑向坐標，<math>p\,\!</math>是徑向動量。

設定能量為常數  <math>E\,\!</math>，徑向動量是
:<math>p=\sqrt{2E - {L^2\over r^2} + { 2\over r}}\,\!</math>。

由於位勢乃[[反平方定律|反平方]][[連心力|連心勢]]，經典的電子運動軌道是[[橢圓]]。[[拱點|近拱點]]<math>r_1\,\!</math>和[[拱點|遠拱點]]<math>r_2\,\!</math>分別是當<math>p=0\,\!</math>時電子位置的徑向坐標：
:<math>r_1=( - 1+\sqrt{1+2L^2 E})/2E\,\!</math>；
:<math>r_2=( - 1 - \sqrt{1+2L^2 E})/2E\,\!</math>。

所以，舊量子條件是
:<math>\oint \sqrt{2E - {L^2\over r^2} + { 2\over r}} \ dr=2\int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2E - {L^2\over r^2} + { 2\over r}} \ dr=  k h\,\!</math>；

其中，<math>k\ge 0\,\!</math>是一個新的量子數。

經過一番運算，可以得到
:<math> 2\pi\left(\frac{1}{\sqrt{ - 2E}} - L\right)=kh\,\!</math>。

將量子化的角動量<math>L=l\hbar\,\!</math>代入，稍加編排，可得能量為
:<math> E= - \frac{1}{2(k + l)^2\hbar^2}\,\!</math>。

兩個量子數<math>k\,\!</math>、<math>l\,\!</math>共同決定了能量。設定主量子數<math>n\,\!</math>：
:<math>n=k+l\,\!</math>。

由於<math>k\,\!</math>是非負整數，<math>l\,\!</math>的容許值必須小於或等於<math>n\,\!</math>。除了某些小地方以外，這結果與波耳模型的能級結果完全相同。

前述關於氫原子的半經典理論稱為'''索末菲模型'''<ref>{{Citation|last=索末菲|first=阿諾|author-link=阿諾·索末菲|title=Atombau und Spektrallinien|publisher =Braunschweig, Friedrich Vieweg und Sohn|year=1919}}，德文原文。</ref><ref>{{Citation|last=索末菲|first=阿諾|author-link=阿諾·索末菲|last2=Brose  |first2=Henry Leopold|title=Atomic structure and spectral lines|publisher=Methuen & Co.|year=1934|edition=3rd.}}，英文翻譯。</ref>
。其軌道是各種不同尺寸的橢圓軌道處於離散的傾斜平面。索末菲模型預測，原子沿著某直軸的磁矩，只能給出離散值。這預測似乎與旋轉不變性相矛盾，但是卻被[[斯特恩-革拉赫實驗]]證實是正確的。

== 光子與物質波 ==
1905年，[[愛因斯坦]]發覺在同樣一個盒子內，假若波長很短，則量子化的[[電磁場]]諧振子的[[熵]]等於一群呈氣體態的粒子的熵<ref>{{Citation|last = 愛因斯坦|first = 阿爾伯特|author-link = 愛因斯坦|title = Die Planckshe Theorie der Strahlung und die Theorie der Spezifischen Wärme|journal = Annalen der Physik|volume = 22|pages = pp.180-190|year = 1907}}</ref>。粒子的數量等於量子的數量。愛因斯坦因此推斷，這量子是實際存在於空間某個位置的物體，即光的粒子。他將這量子取名為[[光子]]。

愛因斯坦的論點是建立於[[熱力學]]，建立於計算物理態的數目，因此並不能完全的說服那時的物理學家。然而，他推斷光具有波動和粒子的雙重性質，更精確地說，給予一個電磁駐波，角頻率是<math>\omega\,\!</math>，量子化能量是<math>E = n\hbar\omega\,\!</math>，可以被視為由<math>n\,\!</math>個能量為<math>\hbar\omega\,\!</math>的光子所構成的。很遺憾地，愛因斯坦無法描述光子與波動是怎樣的相關。

光子擁有動量和能量。[[狹義相對論]]要求，光子的動量必須是
:<math>p=\frac{h}{\lambda}\,\!</math>；

其中，<math>\lambda\,\!</math>是電磁波的波長。

1924年，[[路易·德布羅意]]還正在攻讀博士學位的時候，他提出了一個新的詮釋。他建議所有的物質，電子或光子，都是[[物質波]]，遵守關係式
:<math>\lambda = {h \over p}\,\!</math>；

其中，<math>\lambda\,\!</math>是物質波的波長。

他又聲明，當物質波移動於經典軌道時，舊量子條件計算物質波的[[相位]]變化，要求總變化是<math>2\pi\,\!</math>的整數倍數：
:<math>\oint p dx=\oint \frac{h}{\lambda} dx=nh\,\!</math>。

沿著經典軌道，波長的數目必須是整數。這條件是建設性干涉的條件，也解釋了為什麼要量子化軌道：只有在離散頻率、離散能量的前提下，物質波才能形成駐波。

舉例而言，給予一個[[盒中粒子]]問題，一個駐波的半波長<math>\lambda/2\,\!</math>的整數倍數<math>n\,\!</math>  必須等於盒子的邊長<math>L\,\!</math>，這駐波才能夠長存在。舊量子條件表達為
:<math>n\lambda/2 =L\,\!</math>。

那麼，量子化動量是
:<math>p = \frac{nh}{2L}\,\!</math>。

這樣，可以複製舊量子能級。

== 克拉莫躍遷關係 ==
舊量子論只能適用於特定的力學系統，能夠用週期性的[[作用量-角度坐標|作用量-角度變量]]來分離的特別力學系統。舊量子論無法處理[[輻射]]的發射和吸收。雖然這樣，[[亨德里克·克拉莫]] ({{lang|en|Hendrik Kramers}})找到了一個啟發式，描述怎樣計算輻射的發射和吸收<ref name="Kramers1924">{{Citation|last=克拉莫|first=亨德里克|title=The Quantum Theory of Dispersion|journal=Nature|volume=114|pages=pp. 310-311| year=1924}}</ref>。   

克拉莫建議，應該[[傅立葉分析]]一個量子系統的軌道，將軌道依照軌道頻率的倍數分解成[[調和函數]]：   
:<math>X_n(t) = \sum_{k= - \infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{n;\,k}\,\!</math>。   
   
其中，下標<math>n\,\!</math>是軌道的量子數，在索末菲模型裏，代表<math>n,\,l,\,m\,\!</math>量子數組，<math>\omega\,\!</math>是軌道的角頻率，<math>k\,\!</math>是傅立葉模態。   
   
克拉莫注意到，只有當頻率是軌道頻率的整數倍數的時候，才會發生[[輻射]]的經典[[發射]]。在他的量子[[色散關係|色散理論]]裏，他提議兩個物理態之間的躍遷可以比擬為輻射的經典發射。那麼，輻射的發射率應正比於<math>|X_k|^2\,\!</math>，如同在經典力學的應有的物理行為。克拉莫的描述並不精確，因為傅立葉分量的頻率並不完全匹配能級之間的差距。
   
這點子後來引導出[[矩陣力學]]的發展。

== 歷史 ==
[[馬克斯·普朗克]]對於光波的發射和吸收的研究，點燃了舊量子論。後來，愛因斯坦發表了固體比熱的傑作。緊接著，應用量子原理於原子運動，[[彼得·德拜]]解釋了比熱的異常現象。這些貢獻開啟了舊量子論如火如荼的發展。

1913年，波耳發表了[[對應原理]]。應用這原理，他又建構了[[氫原子]]的[[波耳模型]]，成功地解釋出氫原子的發射[[譜線]]。

整個1910年代，一直到1920年代中期，物理學家應用舊量子論為一個解析原子問題的嶄新利器。但是有成功也有失敗，效果並不一致。在這期間，科學家知曉了分子的旋轉和振動譜線，也發現了電子[[自旋]]；但這些也引起了半整數量子數的困惑。愛因斯坦提出了[[零點能量]]理論<ref>{{Citation|last = 愛因斯坦|first = 阿爾伯特|author-link = 阿爾伯特·愛因斯坦|last2 = 施特恩|first2 =奧托|author2-link =奧托·施特恩|title = Einige Argumente für die Annahme einer molekular Agitation beim absoluten Nullpunkt |journal=Annalen der Physik|volume=40|pages=pp. 551-560|year=1913}}</ref>。[[阿諾·索末菲]]半經典地量子化[[相對論|相對論性]]氫原子<ref name="Somm1916" />。克拉莫給予了[[斯塔克效應]] ({{lang|en|Stark effect}})一個合理的解釋<ref>{{Citation|last=克拉莫|first=亨德里克|title = Über den Einfluß eines elektrischen Feldes auf die Feinstruktur der Wasserstofflinien'' (On the influence of an electric field on the fine structure of hydrogen lines)|journal = Zeitschrift für Physik|volume = 3|pages = pp. 199-233  | year = 1920}}</ref>。[[薩特延德拉·玻色]]和愛因斯坦正確地找到了[[光子]]的量子統計。

於1924年，克拉莫發表了量子色散理論，藉著運動軌道的傅立葉分量，可以計算從一個量子態躍遷至另一個量子態的機率<ref name="Kramers1924" />。通過與[[海森堡]]的合作，這點子被延伸為一個半經典的，以類似矩陣的形式來描述的原子躍遷機率<ref>{{Citation|last=克拉莫|first=亨德里克|last2=海森堡|first2=維爾納| author2-link=海森堡|title=Über die Streuung von Strahlen durch Atome| journal=Zeitschrift fur Physik|volume = 31|pages = pp.681-708|year = 1925}}</ref>。海森堡繼續這研究，以這躍遷方法來重新表述量子理論，原創出矩陣力學<ref>{{Citation|last=海森堡|first=維爾納|author-link=海森堡|title=Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen|journal = Zeitschrift für Physik|volume = 33|pages = pp. 879-893|year = 1925}}</ref>。

同樣於1924年，[[德布羅意]]提出物質的波動理論。在1926年，[[薛丁格]]找到了一個[[薛丁格方程式|量子波動方程式]]，能夠清楚明瞭，前後一致地複製舊量子論的所有成果。後來，薛丁格證明了他的波動力學和海森堡矩陣力學是等價的。波動力學和矩陣力學共同結束了舊量子論的時代。

== 參考文獻 ==
{{reflist|1}}

== 外部連結 ==
*[[國立交通大學]]物理系視聽教學：[https://web.archive.org/web/20090301005010/http://ocw.nctu.edu.tw/course/riki.php?id=introquantummechanics_video&CID=1 舊量子論]。

{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:量子力學|J]]
[[Category:物理學史|J]]

[[de:Quantenphysik#Frühe Quantentheorien]]