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'''舒尔正交关系'''（{{lang|en|Schur orthogonality relations}}）描述了[[有限群|有限]][[群]][[群表示|表示]]中的核心事实。它可以推广到一般的[[紧群]]，特别是[[紧李群]]，比如[[旋转群]] ''SO''(3)。此關係可藉由[[舒尔引理]]證明。

==有限群==
令 <math>\Gamma^{(\lambda)} (R)_{mn}</math> 是一个 |''G''| 阶（即 ''G'' 有 |''G''| 个元素）有限群 <math>G=\{R\}</math> 的一个[[不可约表示|不可约]][[群表示|矩阵表示]] <math>\Gamma^{(\lambda)}</math> 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个[[酉表示]]，我们假设 <math>\Gamma^{(\lambda)}</math> 是酉的：
:<math>
   \sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G,
</math>
这里 <math>l_\lambda</math> 是表示 <math>\Gamma^{(\lambda)}</math> 的（有限）维数<ref><math>l_\lambda</math> 的有限性是由于一个有限群 ''G'' 的不可约表示包含于[[正则表示]]。</ref>。

'''正交关系'''，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

:<math>
   \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} = 
\delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{|G|}{l_\lambda}.
</math>

这里 <math>\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*</math> 是 <math>\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}\,</math> 的[[複共轭]]，求和遍及 ''G'' 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 <math>\Gamma^{(\lambda)}= \Gamma^{(\mu)}</math>，则[[克罗内克函数]] <math>\delta_{\lambda\mu}</math> 是单位；如果 <math>\Gamma^{(\lambda)}</math> 与 <math>\Gamma^{(\mu)}</math> 不等价则<math>\delta_{\lambda\mu}</math>为零。其他两个克罗内克函数則要求行与列的指标必须相等（<math>n=n'</math> 和 <math>m=m'</math>）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做'''广义正交定理'''。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出
:<math>
   \sum_{R\in G}^{|G|} \; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0 
</math>
对 <math>n,m=1,\ldots,l_\mu</math> ，此式對任何不等于单位表示的不可约表示 <math>\Gamma^{(\mu)}\,</math>成立。

=== 例子 ===

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 <math>S_3</math>（[[对称群]]）。这个群同构于[[三维点群#七个无穷序列|点群]] <math>C_{3v}</math>，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（''l'' = 2）。在 <math>S_3</math> 情形，通常将这个不可约表示利用[[杨氏表]]（[[杨氏矩阵]]）记作 <math> \lambda = [2,1]</math> 而在 <math>C_{3v}</math> 情形通常写成 <math> \lambda = E</math>。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素<ref>这种选择不是惟一的，这个矩阵的任意正交相似变换给出一个等价的不可约表示。</ref>
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2} \\ 
\end{pmatrix}
</math>
元素 (1,1) 的正规化为：
:<math> \sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{11} = 1^2+1^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2
= 3 .
</math>
同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：
:<math> \sum_{R\in G}^{6} \; \Gamma(R)_{11}^*\;\Gamma(R)_{22} = 1^2+(1)(-1)+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)
 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2
= 0 .
</math>
类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

===直接推论===
矩阵的[[迹]]是对角矩阵元素之和，

:<math>\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big) = \sum_{m=1}^{l} \Gamma(R)_{mm}</math>.
所有迹的集合 <math>\chi \equiv \{\operatorname{Tr}\big(\Gamma(R)\big)\;|\; R \in G\}</math> 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 <math>\chi^{(\lambda)}</math>

:<math>\chi^{(\lambda)} (R)\equiv \operatorname{Tr}\left(\Gamma^{(\lambda)}(R)\right)</math>.

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

:<math>\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi^{(\mu)}(R)= \delta_{\lambda\mu} |G|,</math>

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

:<math>\sum_{R\in G}^{|G|} \chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi(R) = n^{(\lambda)} |G|,</math>

这帮助我们确认不可约表示 <math>\Gamma^{(\lambda)}</math> 在具有特征标 <math>\chi(R)</math> 的可约表示  <math>\Gamma \,</math> 中包含的次数。

例如，如果
 
:<math>n^{(\lambda)}\, |G| = 96</math>

这个群的阶是

:<math>|G| = 24\,</math>

则 <math>\Gamma^{(\lambda)}\,</math> 在给定“可约”表示 <math>\Gamma \,</math> 中包含的次数是

:<math>n^{(\lambda)} = 4\, .</math>

关于群特征表参见[[特征标理论]]。

==紧群==
有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 <math>G</math> 有惟一一个双不变[[哈尔测度]]，使得群的体积是 1。将这个测度记成 <math>dg</math>。设 <math>( \pi^\alpha )</math> 是 <math>G</math> 的不可约表示的一个完备集合，设 <math>\phi^\alpha_{v,w}(g)=<v,\pi^\alpha(g)w> </math> 是表示 <math>\pi^\alpha</math> 的[[矩阵系数]]。正交关系可以叙述为两部分
1) 如果 <math>\pi^\alpha \ncong \pi^\beta </math> 则：
:<math>
\int_G \phi^\alpha_{v,w}(g)\phi^\beta_{v',w'}(g)dg=0
</math>
2)如果 <math>\{e_i\}</math> 是表示空间 <math>\pi^\alpha</math> 的一个[[正交规范基]]，则：
:<math>
d^\alpha\int_G \phi^\alpha_{e_i,e_j}(g)\phi^\alpha_{e_m,e_n}(g)dg=\delta_{i,m}\delta_{j,n}
</math> 
这里 <math>d^\alpha</math> 是 <math>\pi^\alpha</math> 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是[[彼得-外尔定理]]的推论。

=== 例 <math>SO(3)</math> ===
一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用[[欧拉角]]： <math>\mathbf{x} = (\alpha, \beta, \gamma)</math>。界限是 <math>0 \le\alpha, \gamma \le 2\pi</math> 以及 <math>0 \le \beta \le\pi</math>。

体积元素 <math> \omega(\mathbf{x})\, dx_1 dx_2\cdots dx_r </math> 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） <math>\omega(\mathbf{x})</math> 的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 <math>\omega(\alpha,\beta,\gamma) = \sin\! \beta \,,</math>，而 n, ψ 参数化给出权重t <math>\omega(\psi,\theta,\phi) = 2(1-\cos\psi)\sin\!\theta\, </math>，其中 <math>0\le \psi \le \pi, \;\; 0 \le\phi\le 2\pi,\;\; 0 \le \theta \le \pi</math>。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：
:<math>
    \Gamma^{(\lambda)}(R^{-1}) =\Gamma^{(\lambda)}(R)^{-1}=\Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger\quad \hbox{with}\quad \Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger_{mn} \equiv \Gamma^{(\lambda)}(R)^*_{nm}.
</math>
简记成
:<math>
    \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})= \Gamma^{(\lambda)}\Big(R(\mathbf{x})\Big)
</math>
正交关系具有形式
:<math>
    \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1}\; \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})^*_{nm} \Gamma^{(\mu)}(\mathbf{x})_{n'm'}\; \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r \; = \delta_{\lambda \mu} \delta_{n n'} \delta_{m m'} \frac{|G|}{l_\lambda},
</math>
群的体积是
:<math>
    |G| = \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1} \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r .
</math>
我们注意到 SO(3) 的不可约表示是[[维格纳D-矩阵]]（{{lang|en|Wigner D-matrix}}）<math>D^\ell(\alpha \beta \gamma)</math>，它们的维数是   <math>2\ell+1 </math>。故
:<math>
    |SO(3)| = \int_{0}^{2\pi} d\alpha \int_{0}^{\pi} \sin\!\beta\, d\beta \int_{0}^{2\pi} d\gamma = 8\pi^2,
</math>
它们满足
:<math>
    \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} D^{\ell}(\alpha \beta\gamma)^*_{nm} \; D^{\ell'}(\alpha \beta\gamma)_{n'm'}\; \sin\!\beta\, d\alpha\, d\beta\, d\gamma = \delta_{\ell\ell'}\delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac{8\pi^2}{2\ell+1}. 
</math>

=== 脚注 ===
{{reflist}}

==参考文献 ==
任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：
* M. Hamermesh, ''Group Theory and its Applications to Physical Problems'', Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
* W. Miller, Jr., ''Symmetry Groups and their Applications'', Academic Press, New York (1972). 
* J. F. Cornwell, ''Group Theory in Physics,'' (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).

[[Category:群表示论]]