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在[[线性代数]]与[[矩阵论]]中，一个[[矩阵]]的[[子式和余子式|子矩阵]]之'''舒尔补'''是一个与其[[子式和余子式|余子阵]]同样大小的矩阵，定义如下：假设一个 (''p''+''q'')×(''p''+''q'')的矩阵''M''被分为''A'', ''B'', ''C'', ''D''四个部分，分别是''p''×''p''、''p''×''q''、''q''×''p''以及''q''×''q''的矩阵，也就是说：
:<math>M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]</math>
并且''D''是[[逆矩阵|可逆]]的矩阵。则''D''在矩阵中的'''舒尔补'''是：

:<math>A-BD^{-1}C.</math>

这是一个''p''×''p''的矩阵。

舒尔补得名于[[数学家]][[伊赛·舒尔]]，后者用舒尔补来证明[[舒尔引理]]。然而，舒尔补的概念在之前就曾经被使用过<ref>{{cite book  |title=The Schur Complement and Its Applications |first=Fuzhen |last=Zhang |year=2005|publisher=Springer |isbn=0387242716 }}</ref>。

==背景==
舒尔补实际上是对原来的矩阵''M''进行一系列的[[高斯消元法|初等变换操作]]后得到的矩阵，其转换矩阵是[[三角矩阵|下三角矩阵]]：
:<math>L=\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right].</math>

其中''I<sub>p</sub>''表示一个''p''×''p''的单位矩阵。矩阵''M''右乘转换矩阵''L''之后，左上角就会出现舒尔补，具体的形式是：

:<math>M\cdot L= \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} A-BD^{-1}C & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{matrix}\right].</math>

因此，矩阵''M''的逆，如果存在的话，可以用<math>D^{-1}</math>以及其舒尔补（如果存在的话）来表示：

:<math> \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]^{-1} =
\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & I \end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right]</math>
::::<math>
= \left[ \begin{matrix} \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1}  &   -\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1}C\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & D^{-1}+ D^{-1} C \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \end{matrix} \right]. </math>

当''p''和''q''都等于1（即''A''、''B''、''C''和''D''都是系数）时，我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式：
:<math> M^{-1} = \frac{1}{AD-BC} \left[ \begin{matrix} D & -B \\ -C & A \end{matrix}\right] </math>

这也说明了<math>AD-BC</math>是非零的数。

== 在矩阵方程求解中的应用 ==

舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用：

:<math>Ax + By = a</math>
:<math>Cx + Dy = b</math>

其中''x''以及''a''是''p''维的[[向量|列向量]]，而''y''以及''b''则是''q''维的列向量。矩阵''A''、''B''、''C''、''D''则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵<math>BD^{-1}</math>，并将得到后的方程与第一个相减，就得到：
:<math>(A - BD^{-1} C) x = a - BD^{-1} b.\,</math>

因此，如果可以知道''D''以及''D''的舒尔补的逆矩阵，就可以解出未知量''x''之后带入第二个方程<math>Cx + Dy = b</math>就可以解出''y''。这样，就将<math>(p+q) \times (p+q)</math>矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个''p''×''p''矩阵以及一个  ''q''×''q''矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度（计算量）。实际上，这要求矩阵''D''满足足够好的条件，以使得算法得以成立。

== 概率论和统计学中的应用 ==

假设有分别属于'''R'''<sup>''n''</sup>以及'''R'''<sup>''m''</sup>的随机列向量''X'', ''Y''  ，并且'''R'''<sup>''n''+''m''</sup>中的向量对 (''X'', ''Y'')具有[[多维正态分布]]，其方差矩阵是对称的正定矩阵

:<math>V=\left[\begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix}\right].</math>

那么''X''在''Y''给定时的[[条件方差]]是矩阵''C''在''V''中的舒尔补：

:<math>\operatorname{var}(X\mid Y) = A-BC^{-1}B^T.</math>

== 参考来源 ==
{{reflist}}

== 参见 ==

* [[Woodbury单位矩阵]]

[[Category:线性代数]]