查看“艾森斯坦三元数”的源代码

{{校对翻译|en|Eisenstein triple}}
{{暂定名称}}
'''{{PAGENAMEBASE}}'''（{{lang|en|Eisenstein triple}}）与[[勾股数]]（亦称[[毕氏三元数]]）类似，由三个[[整数]]组成，这三个数为一个含有60°角的[[三角形]]各[[邊 (幾何)|边]]的边长。

==含有60°角的三角形==
[[Image:Eisenstein triple.png|thumb|一组{{PAGENAMEBASE}}]]
含有60°角的三角形是[[余弦定律]]的一个特例，设60°角的对边边长为c，其余两边边长分别为a和b，那么a，b和c的关系为：
<ref>Gilder, J., Integer-sided triangles with an angle of 60°," Mathematical Gazette 66, December 1982, 261 266</ref><ref>Burn, Bob, "Triangles with a 60° angle and sides of integer length," Mathematical Gazette 87, March 2003, 148–153.</ref><ref>Read, Emrys, "On integer-sided triangles containing angles of 120° or 60°", ''Mathematical Gazette'', 90, July 2006, 299–305.</ref>

:<math>c^2 = a^2 - ab + b^2</math>

若a, b, c三条边的长度均为整数，则称这三个数值组成的数组为{{PAGENAMEBASE}}<ref>{{cite web|url=https://www.edc.org/|title=Education Development Center (EDC) - EDC|website=www.edc.org}}</ref>。

{{PAGENAMEBASE}}举例：
{| class="wikitable"
|-
! a
! b
! c
|-
| 3
| 8
| 7
|-
| 5
| 8
| 7
|-
| 5
| 21
| 19
|-
| 7
| 40
| 37
|-
| ……
| ……
| ……
|}

===通式===
含有60°角的三角形的三条整数边长可以通过以下式子算得：
<ref>Gilder, J., Integer-sided triangles with an angle of 60°", ''Mathematical Gazette'' 66, December 1982, 261&nbsp;266</ref>

:<math>c=m^2-mn+n^2 \, </math>
:<math>b=2mn - n^2\, </math>
:<math>a=m^2-n^2 \, </math>

其中，m与n[[互质]]，且0<n<m。所有本原解可以通过除以a、b和c的[[最大公约数]]来获得（例如m=2，n=1时，得到a=3，b=3，c=3，a、b、c三个数都除以它们的最大公约数3，得到本原解1、1和1）。

也可以通过以下式子算得<ref name=Zelator>[https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0803/0803.3778.pdf Zelator, K., "Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x<sup>2</sup>+3y<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>", ''Cornell Univ. archive'', 2008]</ref>：
:<math>c=3m^2+n^2\, </math>
:<math>b=2mn+|3m^2-n^2| \, </math>
:<math>a=4mn \, </math>

其中，m与n互质，且1 ≤ n ≤ m 或 3m ≤ n。同样，所有本原解可以通过除以a、b和c的最大公约数来获得。

==参考==
{{reflist}}


[[分类:三角形几何]]