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{{unreferenced|time=2012-05-22T07:08:18+00:00}}
'''芬斯拉不等式'''（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>，面积为<math>S</math>，则

:<math>a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S</math>  （当且仅当<math>a=b=c</math>时，等号成立）……（1）

'''证明一：'''如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设<math>AD=h</math>，<math>BD=m</math>，<math>DC=n</math>，则有

:<math>a^2=(m+n)^2</math>，<math>b^2=h^2+n^2</math>，<math>c^2=h^2+m^2</math>，<math>S=\frac{(m+n)h}{2}</math>，

:∵<math>[h-\tfrac{\sqrt{3}(m+n)h}{2}]^2+[\tfrac{(m-n)h}{2}]^2 \ge  0</math>  ……（2）

等号当且仅当<math>h=\tfrac{\sqrt{3}(m+n)}{2}</math>，且<math>m=n</math>时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

:<math>(m+n)^2+h^2+n^2+h^2+m^2 \ge 2\sqrt{3}(m+n)h</math>，

:∴ <math>a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S</math>。（当<math>a=b=c</math>时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当<math>a=b=c</math>时，正三角形的面积最大，此时有<math>m=n</math>，<math>h=\tfrac{\sqrt{3}(m+n)}{2}</math>，利用这两个公式就可造出不等式（2）。


'''证明二：由余弦定理及三角形面积公式，'''

:<math>a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S</math>

:<math>=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab \cos C)-2\sqrt{3}ab \sin C</math>

:<math>=2(a^2+b^2 - 2ab \sin (C+\frac{\pi}{6}) )</math>

:<math>\ge 2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2 \ge 0</math>

当且仅当<math>a=b</math>，∠C=60°，即<math>a=b=c</math>时，等号成立。

==芬斯拉不等式的推广==

1、若a、b、c、d为四边形的四条边，S为其面积，则有

:<math>a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 4S</math>

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若<math>L_{1}</math>、<math>L_{2}</math>、……、<math>L_{n}</math>为n边形的边长，S为其面积，则有

:<math>L_1^2 + L_2^2 + </math>……<math> L_n^2 \ge 4S\tan\tfrac{\pi}{n} (n \ge 3)</math>

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。

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