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'''范德波尔振荡器'''（'''Van der Pol oscillator'''）是荷兰物理学家[[巴尔塔萨·范·德·波尔]]在1927年发现的真空管放大器的[[极限环]]振荡现象<ref>Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).</ref>。极限环振荡可以用下列非线性微分方程表示：

:<math>{d^2x \over dt^2}-\alpha(1-x^2){dx \over dt}+x= 0</math>

此方程称为范德波尔振荡器方程，没有解析解，但可利用[[龙格－库塔法]]求得数字解<ref>Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics, p35, Birkhauser,1997</ref>。

当α=0时，此方程变成普通的简谐振动方程

:<math>{d^2x \over dt^2}+x= 0</math>



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|File:Van der Pol oscillator diagram 0.png|简谐振动图
|File:Van der Pol oscillator diagram 0 phase.png|简谐振动相图
|
}}

当α<0 时，就是阻尼振动，振动逐渐衰减为0

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|File:Van der Pol oscillator diagram damping.png|阻尼振动图
|File:Van der Pol oscillator diagram damping phase.png|阻尼振动相图
}}

当>0时出现自激振动

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|File:Van der Pol oscillator diagram 1.png|自激振动
|File:Van der Pol oscillator diagram 1 phase.png|自激振动相图
|File:Van der Pol oscillator diagram 2.png|
|File:Van der Pol oscillator diagram 2 phase.png|
|File:Van der Pol oscillator diagram 3.png|
|File:Van der Pol oscillator field diagram.png|
}}

==参考文献==
<references/>

{{吸引子}}
{{极限环}}
{{混沌理论}}

[[category:非线性常微分方程]]
[[Category:极限环]]
[[Category:荷兰发明]]