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'''范德蒙恒等式'''是一个有关[[组合数]]的求和公式。

: <math>\binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}</math>

==证明==
===组合方法===
甲班有 <math>m</math>个同学，乙班有 <math>n</math>个同学，从两个班中选出 <math>k</math>個同學有<math>\binom {n+m}k</math>种方法。

从甲班选 <math>k-i</math>名，从乙班选 <math>i</math>名有<math>\binom ni \binom m{k-i}</math>种方法，考虑所有情况<math>i=0,1,\ldots,k</math>，从两个班中合計 <math>k</math>选出個同學有 <math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}</math>种方法。

所以 <math>\binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}</math><ref name="model">{{cite journal|author=李松槐 杨伏香|year=1999|title=用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式|journal=河南教育学院学报(自然科学版)|issue=2|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-HLKB199902007.htm}}</ref>

===母函数方法===
注意到

: <math>(1+x)^n (1+x)^m=(1+x)^{n+m}</math>

等號左邊化簡成

: <math>(1+x)^n (1+x)^m
=\left(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i\right)\left(\sum_{j=0}^m \binom{m}{j} x^j \right)
=\sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \binom{m}{k-i}\right)x^k</math>

等號右邊則根據定義

: <math>(1+x)^{n+m}=\sum_{k=0}^{n+m} \binom{n+m}{k} x^k</math>

比較 <math>x^k</math>係數，可得

: <math>\binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}</math><ref name="model" />

==推广==
===多变量型===
<math>\sum_{k_{ij}} {n_1 \choose k_{11}, k_{12}, \dots, k_{1t}}\dots {n_s \choose k_{s1}, k_{s2}, \dots, k_{st}}={n_1+n_2+\dots+n_s \choose r_1, r_2, \dots, r_t}</math>

其中<math>{n \choose n_1, n_2, \dots, n_m}=\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_m!},k_{1l}+k_{2l}+\dots+k_{sl}=r_l,l=1,\dots,t</math><ref>{{cite journal | author=Hac`ene Belbachir | year=2014 | title=A combinatorial contribution to the multinomial Chu-Vandermonde convolution |  publisher=RECITS Laboratory | url=https://www.researchgate.net/profile/Hacene_Belbachir/publication/290448343_A_combinatorial_contribution_to_the_multinomial_Chu-Vandermonde_convolution/links/569957ad08aeeea985947190/A-combinatorial-contribution-to-the-multinomial-Chu-Vandermonde-convolution.pdf }}</ref>

展开<math>(x_1+x_2+\dots+x_t)^{n_1+n_2+\dots+n_s}=(x_1+x_2+\dots+x_t)^{n_1}\dots (x_1+x_2+\dots+x_t)^{n_s}</math>可得以上结论。
===超几何函数===
{{main|超几何函数}}
'''范德蒙恒等式'''是超几何函数的一个整数特例。

<math>{}_2F_1(a,b;c;1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}n!}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},\quad \Re(c)>\Re(a+b)</math>
<ref>{{cite book | last=Bailey | first=W.N. | year=1935 | title=Generalized Hypergeometric Series | publisher=Cambridge University Press | url=http://plouffe.fr/simon/math/Bailey%20W.N.%20Generalized%20Hypergeometric%20Series%20%281964%29%28L%29%28T%29%2859s%29.pdf | ref=harv | access-date=2018-06-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170624164738/http://plouffe.fr/simon/math/Bailey%20W.N.%20Generalized%20Hypergeometric%20Series%20(1964)(L)(T)(59s).pdf | archive-date=2017-06-24 | dead-url=yes }}</ref>

<math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\frac{m!}{k!(m-k)!}\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}=\frac{m!}{k!(m-k)!}{}_2F_1(-n,-k;m-k+1;1)</math>

<math>=\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{\Gamma(m-k+1)\Gamma(n+m+1)}{\Gamma(n+m-k+1)\Gamma(m+1)}=\frac{(n+m)!}{k!(n+m-k)!}=\binom {n+m}k</math>

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:组合数学]]
[[分类:数学恒等式]]