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'''范霍夫奇点'''（'''Van Hove singularity'''），或范霍夫奇异点，指的是在[[晶体|晶态]][[固体]]的[[态密度]]（Density of State，“'''DOS'''”）中的一个[[奇点 (数学)|奇点]]（不光滑点）。范霍夫奇点处的[[波矢]]通常和[[布里渊区]]的[[临界点]]有关（不同于相图中的“[[临界点]]”)。对于三维晶体，范霍夫奇点以扭结（态密度函数不可[[微分|微]]）的形式存在。范霍夫奇点的概念最常见的应用是在光学[[吸收光譜|吸收光谱]]的分析中。1953年，[[比利时]]物理学家{{le|莱昂·范霍夫|Léon Van Hove}}就[[声子]]的状态密度的情况对这种奇点的出现作出了第一次分析。<ref>L. Van Hove, [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.89.1189 "The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal,"] Phys. Rev. 89, 1189–1193 (1953).</ref>

== 理论 ==
考虑一个有<math>N</math>个粒子位置的一维晶格（即原子链），各个位置的间距为<math>a</math>，晶格总长<math>L = Na</math>。通过采用[[周期性边界条件]]可得：<ref>见以下链接中的 equation 2.9 http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf 从 <math>\phi(x+L)=\phi(x)</math> 可得 <math>kL=2n\pi</math></ref>
: <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=n\frac{2\pi}{L}</math>
其中 <math>\lambda</math> 是波长，<math>n</math> 是一个整数（正整数表示由左朝右传播，负整数表示由右朝左传播）。晶格中[[波长]]的最小值等于<math>2a</math>：这对应着[[波数]]的最大值 <math>k_{max}=\pi/a</math>，以及<math>|n|</math>的最大值：<math>n_{max}=L/2a</math>。定义态密度 <math>g(k)dk</math> 为 <math>k</math> 到 <math>k+dk</math> 之间[[驻波]]的数量：<ref>M. A. Parker(1997-2004)[http://www.ece.rutgers.edu/~maparker/classes/582-Chapters/Ch07-Sol-State-Carriers/Ch07S16DensityStates.pdf "Introduction to Density of States" ''Marcel-Dekker Publishing''] p.7.   [https://web.archive.org/web/20060908092239/http://www.ece.rutgers.edu/~maparker/classes/582-Chapters/Ch07-Sol-State-Carriers/Ch07S16DensityStates.pdf Archived]<span> September 8, 2006, at the </span>Wayback Machine<span>.</span>
</ref>
: <math>g(k)dk = dn  =\frac{L}{2\pi}\,dk</math>
若推广到三维情况，可得[[無限深方形阱|无限深方形阱]]中的态密度为
: <math>g(\vec{k})d^3k = d^3n  =\frac{L^3}{(2\pi)^3}\,d^3k</math>
其中 <math>d^3k</math> 为<math>k</math>空间的体积微元。对于电子，若考虑其[[自旋]]则需要对上式乘以2。通过[[链式法则]]，能量空间的态密度可表示为
: <math>dE = 
\frac{\partial E}{\partial k_x}dk_x +
\frac{\partial E}{\partial k_y}dk_y +
\frac{\partial E}{\partial k_z}dk_z =
\vec{\nabla}E \cdot d\vec{k}</math>
其中<math>\vec{\nabla}</math>指的是<math>k</math>空间中的[[梯度]]。

在<math>k</math>空间中，对应某特定能量<math>E</math>的一系列点构成了[[电子等能面|等能面]]；对于<math>E</math>取梯度会得到一系列垂直于等能面的矢量<ref><cite class="citation book">Ziman, John (1972). ''Principles of the Theory of Solids''. Cambridge University Press. </cite><cite class="citation book">ISBN B0000EG9UB.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AVan+Hove+singularity&rft.aufirst=John&rft.aulast=Ziman&rft.btitle=Principles+of+the+Theory+of+Solids&rft.date=1972&rft.genre=book&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook">&nbsp;</span></ref>。态密度关于能量E的函数为：
: <math>g(E)dE = \iint_{\partial E}g(\vec{k})\,d^3k = \frac{L^3}{(2\pi)^3}\iint_{\partial E}dk_x\,dk_y\,dk_z</math>
其中的积分是对于等能面 <math>\partial E</math> 的[[面积分]]。通过选定一个新的坐标系 <math>k'_x,k'_y,k'_z\,</math>，我们可以令 <math>k'_z\,</math> 垂直于等能面（平行于<math>E</math>的梯度）。若选定的这个坐标系只是原坐标系的一个旋转，则<math>k'</math>空间的空间微元为
: <math>dk'_x\,dk'_y\,dk'_z = dk_x\,dk_y\,dk_z</math>
于是<math>dE</math>可写作：
: <math>dE=|\vec{\nabla}E|\,dk'_z</math>
[[File:NewvanHove.png|右|缩略图|350x350像素|通过数值模拟计算得到的某种三维的固体的态密度 <math>g(E)</math> 和能量<math>E</math>的关系图。范霍夫奇点位于 <math>dg(E)/dE</math> 发散处。]]
将其代入g(E)的表达式中可得：
: <math>g(E)=\frac{L^3}{(2\pi)^3}\iint\frac{dk'_x\,dk'_y}{|\vec{\nabla}E|}</math>
其中 <math>dk'_x\,dk'_y</math> 为等能面上的面积元。由上述态密度 <math>g(E)</math> 的表达式可知，在[[色散关系]] <math>E(\vec{k})</math> 的极值点上，表达式中的积分是发散的。范霍夫奇点指的就是<math>k</math>空间中态密度函数上的这些点。

进一步的分析<ref><cite class="citation book">Bassani, F.; Pastori Parravicini, G. (1975). ''Electronic States and Optical Transitions in Solids''. Pergamon Press. </cite><cite class="citation book">[[国际标准书号|ISBN]]&nbsp;0-08-016846-9.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AVan+Hove+singularity&rft.aufirst=F.&rft.aulast=Bassani&rft.au=Pastori+Parravicini%2C+G.&rft.btitle=Electronic+States+and+Optical+Transitions+in+Solids&rft.date=1975&rft.genre=book&rft.isbn=0-08-016846-9&rft.pub=Pergamon+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook">&nbsp;</span> 这本书集中讨论了处于不同维度的各种不同类型的范霍夫奇点，并且以[[锗]]和[[石墨]]为例，详细地对理论和实验进行了比较。</ref>表明三维空间中存在着四类范霍夫奇点。这取决于能带结构是否通过一个[[极值|局域极大值]]，或[[极值|局域极小值]]，亦或是[[鞍点]]。在三维的情况下，即使态密度函数的[[导数]]是发散的，其本身可以是不发散的。函数 <math>g(E)</math> 倾向于有平方根奇点（见右图）。这是由于对于一个[[自由电子模型]]中的[[费米面]]，我们有
: <math>E = \hbar^2 k^2/2m</math> 则 <math>|\vec{\nabla}E| = \hbar^2 k/m = \hbar \sqrt{ \frac{2E}{m}}</math>.
在二维情况下，态密度在鞍点是对数发散的；在一维情况下，<math>\vec{\nabla}E</math>等于零处的态密度为无穷大。

== 实验观测 ==
上文提到，范霍夫奇点常出现在固体的光学吸收光谱的分析中。通过[[费米黄金定则]]，我们可以直接从[[能带结构|电子能带结构]]计算出固体的光学吸收光谱。需要计算的[[摄动理论 (量子力学)|微扰项]]为[[偶极子]]算符 <math>\vec{A} \cdot \vec{p}</math>，其中 <math>\vec{A}</math> 是[[磁矢势]]，<math>\vec{p}</math> 是[[动量算符]]。出现在费米黄金定则的表达式中的态密度叫做“'''复合态密度'''”（joint density of states，JDOS），指被给定的光子能量分离开来的[[导带]]与[[价带]]中电子态的数量。于是，光学吸收谱即为偶极子算符的矩阵元素（也叫做'''振子强度'''，oscillator strength）与复合态密度（JDOS）的乘积。由此我们可以分析吸收光谱中与范霍夫奇点相关的现象。

一维或者二维态密度的发散可能会被认为只是一种数学上的性质；但它们其实是易于测量到的可观测量。高[[各向异性]]固体，例如[[石墨]]（准二维材料）和[[Bechgaard盐]]（准一维材料），在光谱测量中会显现出各种与范霍夫奇点相关的异常现象。范霍夫奇点在理解单层壁[[碳纳米管]]（准一维材料）的{{le|光学性质|Optical properties of carbon nanotubes}}时也扮演着重要的角色。[[石墨烯]]中的狄拉克点也是一个范霍夫奇点。当石墨烯是电中性时，它可以被直接看作电阻中的一个峰。扭曲的石墨烯层，由于层间的耦合作用，也在态密度中显现出了明显的范霍夫奇点。<ref>I. Brihuega et al., Physical Review Letters 109, 196802 (2012).</ref>

== 注释 ==

[[Category:凝聚体物理学]]