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'''莱布尼茨三角形'''是一種將[[分數]]以[[等腰三角形]]排列的一種排列方式，三角形二側最外層的數字是其行編號的[[倒數]]，其中間的數字是其左側數字和左上方數字差的[[絕對值]]。若用[[代數]]方式表示：
:{{math|1=''L''(''r'', 1) = {{分式|1|''r''}}}}（{{math|''r''}}為行編號，最小編號為1）
:{{math|1=''L''(''r'', ''c'') = &#124;''L''(''r'' {{minus}} 1, ''c'' {{minus}} 1) {{minus}} ''L''(''r'', ''c'' {{minus}} 1)&#124;}}（{{math|''c''}}為為列編號，不會大於''r''）

莱布尼茨三角形是數學家[[戈特弗里德·莱布尼茨]]在1714年提出<ref>{{cite book|first=Tony|last=Crilly|title=50 Mathematical Ideas you really need to know|location=London|publisher=Quercus|year=2007|isbn=978-1-84724-008-8|page=53}}</ref>。莱布尼茨三角形的前幾列為：

<math>\begin{array}{cccccccccccccccccc}
& & & & & & & & & 1 & & & & & & & &\\
& & & & & & & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{2} & & & & & & &\\
& & & & & & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{6} & & \frac{1}{3} & & & & & &\\
& & & & & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{4} & & & & &\\
& & & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{20} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{20} & & \frac{1}{5} & & & &\\
& & & & \frac{1}{6} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{6} & & &\\
& & & \frac{1}{7} & & \frac{1}{42} & & \frac{1}{105} & & \frac{1}{140} & & \frac{1}{105} & & \frac{1}{42} & & \frac{1}{7} & &\\
& & \frac{1}{8} & & \frac{1}{56} & & \frac{1}{168} & & \frac{1}{280} & & \frac{1}{280} & & \frac{1}{168} & & \frac{1}{56} & & \frac{1}{8} &\\
& & & & &\vdots & & & & \vdots & & & & \vdots& & & & \\
\end{array}</math>

莱布尼茨三角形的分母列在{{OEIS|id=A003506}}中，其分子均為1。

在[[楊輝三角形]]中，每一項都是其左上方和右上方數字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。

[[楊輝三角形]]可以用[[二項式係數]]來計算，而莱布尼茨三角形也可以用二項式係數來計算：<math>L(r, c) = \frac{1}{r \times {r-1 \choose c-1}}</math>。而且可以用楊輝三角形中的項次來計算莱布尼茨三角形：「每一行的各項是第一項除以楊輝三角形中對應項次的結果」<ref>Wells, David (1986). ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'', p.98. ISBN 978-0-14-026149-3.</ref>。

若將莱布尼茨三角形中第''n''行的所有分母相加，其結果會是<math>n 2^{n - 1}</math>。例如第3行的分母和為{{math|3 + 6 + 3 {{=}} 12 {{=}} 3 × 2<sup>2</sup>}}。

特別是的莱布尼茨三角形中的各項可以用以下的積分式表示：
:<math>L(r, c) = \int_0^1 \! x ^ {c - 1} (1 - x)^{r-c} \,dx \,.</math>

==相關條目==
*[[楊輝三角形]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:三角形]]
[[Category:整数数列]]
[[Category:戈特弗里德·萊布尼茨]]