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在[[交換代數]]中，一個'''葛侖斯坦局部環'''是一個[[內射維度]]有限的交換、局部[[諾特環]]。一個'''葛侖斯坦環'''（英文：Gorenstein ring）是對每個[[素理想]]的[[局部化]]皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是[[科恩-麥考利環]]的特例，它與凝聚對偶性定理（塞爾對偶性定理的推廣）有密切關係。

葛侖斯坦環以數學家[[丹尼爾·葛侖斯坦]]命名。

==其它定義==
對於局部環 <math>(R, \mathfrak{m}, k)</math>，葛侖斯坦局部環的古典定義是：<math>R</math> 是科恩-麥考利環，而且存在 <math>\mathfrak{m}</math> 中的 <math>R</math>-[[正則序列]]，使之生成一個不可約理想。在 <math>R</math> 為有限維諾特環時，下述性質等價：

* <math>R</math> 的內射維度有限，記為 <math>n</math>。
* 存在 <math>n \in \N</math>，當 <math>i \neq n</math> 時，<math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math>，而且 <math>\operatorname{Ext}^n_R (k, R) \cong k</math>。
* 存在 <math>n \in \N</math>，當 <math>i > n</math> 時，<math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math>。
* 存在 <math>n \in \N</math>，對某個 <math>i > n</math> 有 <math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math>。
* 存在 <math>n \in \N</math>，當 <math>i<n</math> 時，<math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math>，而且 <math>\operatorname{Ext}^n_R (k, R) \cong k</math>。

此時 <math>R</math> 是 <math>n</math>-維葛侖斯坦環。

==非交換情形==
若一個環（不一定交換）視為左 <math>R</math>-模及右 <math>R</math>-模的內射維度皆有限，則稱之為葛侖斯坦環。

==例子==
* [[完全交環]]
* [[正則局部環]]

==文獻==
* Hideyuki Matsumura, ''Commutative Ring Theory'', Cambridge studies in advanced mathematics 8.
* N. Bourbaki, ''Algèbre commutative'', chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6

[[Category:交換代數|G]]
[[Category:环论]]