查看“补集”的源代码

{{NoteTA
|T = zh-cn:补集; zh-tw:差集;
|G1 = Math
|1 = zh-cn:相对补集; zh-tw:差集;
|2 = zh-cn:绝对补集; zh-tw:補集;
}}

在[[集合论]]和数学的其他分支中，存在'''-{zh-cn:补集; zh-tw:差集;}-'''的两种定义：-{zh-cn:'''相对补集'''; zh-tw:'''相對差集'''（差集）;}-和-{zh-cn:'''绝对补集'''; zh-tw:'''絕對差集'''（補集）;}-。

== -{zh-cn:相对补集; zh-tw:相對差集;}- ==
[[File:Set difference.svg|thumb|相对补集<math>A \setminus B</math>]]

若<math>A</math>和<math>B</math>是[[集合]]，则<math>A</math>在<math>B</math>中的-{zh-cn:'''相对补集'''; zh-tw:相對差集（簡稱'''差集'''）;}-是由所有属于<math>B</math>但不属于<math>A</math>的元素組成的集合。

<math>A</math>在<math>B</math>中的相对补集记为<math>B \setminus A</math>或<math>B - A</math>。

形式上：
:<math>B \setminus A=\{x\in B \mid x\not\in A\}</math>

例如：
:*<math>\{1,2,3\} \setminus \{2,3,4\} = \{1\}</math>
:*<math>\{2,3,4\} \setminus \{1,2,3\} = \{4\}</math>
:*若<math>\R</math>是[[实数]]集合，<math>\Q</math>是[[有理数]]集合，则<math>\R \setminus \Q</math>为[[无理数]]集合。

下列命题给出一些相对补集同[[并集]]和[[交集]]等集合论[[运算]]相关的一些常用性质。

'''命题1'''：若<math>A,B,C</math>是集合，则下列等式恒成立：
:*<math>C \setminus (A\cap B)=(C \setminus A)\cup(C \setminus B)</math>
:*<math>C \setminus (A\cup B)=(C \setminus A)\cap(C \setminus B)</math>
:*<math>C \setminus (B \setminus A)=(A\cap C)\cup(C \setminus B)</math>
:*<math>(B \setminus A)\cap C=(B\cap C) \setminus A=B\cap(C \setminus A)</math>
:*<math>(B \setminus A)\cup C=(B\cup C) \setminus (A \setminus C)</math>
:*<math>A \setminus A = \varnothing</math>
:*<math>\varnothing \setminus A = \varnothing</math>
:*<math>A \setminus \varnothing = A</math>

== -{zh-cn:绝对补集; zh-tw:絕對差集;}- ==
[[File:absolute complement.svg|thumb|绝对补集<math>A^C</math>]]

若给定[[全集]]<math>U</math>，则<math>A</math>在<math>U</math>中的相对补集称为<math>A</math>的-{zh-cn:'''绝对补集'''（简称'''补集'''）; zh-tw:'''絕對差集'''（又稱為'''補集'''）;}-，记为<math>A^{C}</math>，即：
:<math>A^{C} = U \setminus A</math>

（注意：根据ISO与[[中华人民共和国国家标准]]，<math>A</math>中子集<math>B</math>的补集记作<math>\complement_A B</math>。）

例如，若全集为[[自然数]]集合，则奇数集合的补集为偶数集合。

下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。

'''命题2'''：若<math>A</math>和<math>B</math>是全集<math>U</math>的子集，则下列恒等式成立：
:[[德摩根定律]]：
::*<math>(A\cup B)^{C} = A^{C}\cap B^{C}</math>
::*<math>(A\cap B)^{C} = A^{C}\cup B^{C}</math>
:补集律：
::*<math>A\cup A^{C} = U</math>
::*<math>A\cap A^{C} = \varnothing</math>
::*<math>\varnothing^{C} = U</math>
::*<math>U^{C} = \varnothing</math>
:[[對合]]：
::*<math>(A^{C})^{C} = A</math>
:相对补集和绝对补集的关系：
::*<math>A \setminus B=A \cap B^{C}</math>
::*<math>(A \setminus B)^{C}=A^{C} \cup B</math>

上述表明，若<math>A</math>为<math>U</math>的非空子集，则<math>{A,A^{C}}</math>是<math>U</math>的一个[[集合划分|分割]]。

==补集的符号==
补集的符号为“∁”（Unicode：U+2201）。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
{{Portal box|数学}}
* [[集合代数]]
* [[朴素集合论]]
* [[对称差]]
* [[布尔逻辑]]
* [[交集]]
* [[并集]]

{{集合论}}

[[Category:抽象代数|B]]
[[Category:集合論基本概念|B]]
[[Category:二元運算|B]]