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'''調和數'''可以指跟[[約數和]]有關的整數[[歐爾調和數]]。在數學上，第n個'''調和數'''是首n個正整數的倒數和，即

<math>H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>

它也等于这些自然数的[[调和平均数|调和平均值]]的倒数的<math>n</math>倍。它可以推廣到正整數的倒數的[[冪]]之和，即<math>H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}</math>。

== 調和級數的性質 ==
根據定義，調和數滿足遞推關係

<math>H_{n+1} = H_{n} + \frac{1}{n+1}</math>

它也滿足恆等式

<math>\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n</math>

== 計算 ==
對於第n項調和數，有以下公式

<math> H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx. </math>

設:<math>x = 1 - u\,\!</math>，由此得到

:<math>\begin{align}
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \\
&=-\int_1^0\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom nk u^{k-1}\right]\,du \\
&= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \int_0^1u^{k-1}\,du \\
&= \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk .
\end{align}
</math>



對於調和數<math>H_n</math>，當n不是太大時，可以直接計算。

當n特別大時，可以進行估算。

因為<math> \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right) = \gamma,</math>

由此得到

<math>H_n \sim \ln{n}+\gamma</math>

當n越大時，估算越精確。

更精確的估算是

<math>H_n \sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,</math>

其中<math>B_k</math>是第k項[[伯努利數]]。


=== 廣義調和數 ===
廣義調和數滿足

<math>H_\alpha = \int_0^1\frac{1-x^\alpha}{1-x}\,dx\, .</math>

由此，我們得到

: <math> H_{\frac{3}{4}} = \tfrac{4}{3}-3\ln{2}+\tfrac{\pi}{2}</math>
: <math> H_{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2}(1-\ln{3})+\sqrt{3}\tfrac{\pi}{6}</math>
: <math> H_{\frac{1}{2}} = 2 -2\ln{2}</math>
: <math> H_{\frac{1}{3}} = 3-\tfrac{\pi}{2\sqrt{3}} -\tfrac{3}{2}\ln{3}</math>
: <math> H_{\frac{1}{4}} = 4-\tfrac{\pi}{2} - 3\ln{2}</math>
: <math> H_{\frac{1}{6}} = 6-\tfrac{\pi}{2} \sqrt{3} -2\ln{2} -\tfrac{3}{2} \ln{3}</math>
: <math> H_{\frac{1}{8}} = 8-\tfrac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \tfrac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right\}</math>
: <math> H_{\frac{1}{12}} = 12-3\left(\ln{2}+\tfrac{\ln{3}}{2}\right)-\pi\left(1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\sqrt{3}\ln \left (\sqrt{2-\sqrt{3}} \right )</math>

對於任意兩個正整數p和q，並且p＜q，我們有

: <math> H_{\frac{p}{q}} = \frac{q}{p} +2\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{q-1}{2}\rfloor} \cos(\frac{2 \pi pk}{q})ln({\sin (\frac{\pi k}{q})})-\frac{\pi}{2}cot(\frac{\pi p}{q})-ln({2q})</math>

=== 微積分 ===

對於每一個大於0的x，有

<math> H_{x} =  x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(x+k)}\, .</math>

由此，得

<math> \int_0^1H_{x}\,dx = \gamma\, , </math>

對於每一個n，有

<math> \int_0^nH_{x}\,dx = \ln{(n!)}+n\gamma\, .</math>

=== 其他數列 ===
根據定義，其他類似于調和數的數列有以下計算方法：

<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \psi (n - 1) + \gamma</math>

<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left[\psi \left(n + \frac{3}{2}\right) + \gamma \right] + \ln{2}</math>

<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = \frac{H_n}{2}</math>




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