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{{about|黎曼流形間的調和映射|調和函數|調和函數}}
[[數學]]上，在[[黎曼流形]]''M''和''N''之間的一個（光滑）映射，稱為'''調和映射'''，如果這個映射是[[狄利克雷能量]][[泛函]]
:<math>E(\varphi) = \int_M \|d\varphi\|^2\, d\operatorname{Vol}.</math>
的一個[[臨界點]]。

試想像''M''是[[橡膠]]做的，''N''是[[大理石]]做的，形狀由其[[黎曼度量|度量]]決定，而映射φ:''M''→''N''給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。''E''(φ)就表示因橡膠的[[張力]]產生的[[彈性位能]]。用這個比喻，φ稱為調和映射，如果把橡膠「鬆開」，但仍限制要處處與大理石接觸時，那麼橡膠已經在平衡的位置，所以不會「縮回」到另一個形狀。

從[[完備空間|完備]]黎曼流形到非正[[截面曲率]]的完備黎曼流形存在調和映射，這個結果是{{harvtxt|Eells|Sampson|1964}}證出。

==數學定義==
給出黎曼流形(''M'',''g''), (''N'',''h'')和映射φ:''M''→''N''，定義φ在''M''中一點''x''上的[[能量密度]]為
:<math>e(\varphi) = \frac12\|d\varphi\|^2</math>
其中<math>\|d\varphi\|^2</math>是φ的[[前推 (微分)|微分]]的[[範數]]平方，範數是對[[向量叢]]''T<sup>*</sup>M''⊗φ<sup>−1</sup>''TN''上的導出度量而取。能量是能量密度在''M''上的積分
:<math>E(\varphi) = \int_M e(\varphi)\, dv_g = \frac{1}{2} \int_M \|d\varphi\|^2\, dv_g</math>
其中dv<sub>''g''</sub>是''M''上由度量導出的[[測度]]。這是古典[[狄利克雷能量]]的推廣。

能量密度可以更明確地表作
:<math>e(\varphi) = \frac12\operatorname{trace}_g\varphi^*h.</math>
用[[愛因斯坦求和約定]]，上式右方在[[圖冊 (拓撲學)|局部座標]]中可表示為：
:<math>e(\varphi) = \frac12g^{ij}h_{\alpha\beta}\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial\varphi^\beta}{\partial x^j}.</math>
當''M''是[[緊緻]]時，則φ稱為'''調和映射'''，若φ是能量泛函''E''的一個臨界點。這個定義可以延伸至''M''不是[[緊緻]]的情況：φ稱為'''調和映射'''，若φ限制到任一個緊緻[[區域]]上都是調和映射，換一個更通常的說法，就是若在[[索伯列夫空間]]''H''<sup>1,2</sup>(''M'',''N'')中φ是能量泛函一個臨界點。

調和映射的另一個等價定義，就是φ滿足與泛函''E''對應的[[歐拉-拉格朗日方程]]：
:<math>\tau(\varphi)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \operatorname{trace}_g\nabla d\varphi = 0</math>
其中∇是[[向量叢]]''T<sup>*</sup>M''⊗φ<sup>−1</sup>上由''M''和''N''的[[列維-奇維塔聯絡]]導出的[[聯絡]]。式中τ(φ)是向量叢φ<sup>−1</sup>(TN)的截面，稱為φ的[[表面張力|張力]]場。用上文的物理比喻來說，τ(φ)是「橡膠」流形''M''要使能量極小化時在''N''中擬欲移動的方向。

==例子==
*恆等映射和常映射是調和映射。
*若''M''是實數線'''R'''（或圓''S''<sup>1</sup>），也就是說φ是''N''上的一條曲線（或閉曲線），那麼φ是調和映射當且僅當φ是[[測地線]]。（這時上述的橡膠與大理石比喻，就變為測地線常用的[[橡皮圈]]比喻。）
*若''N''是歐氏空間'''R'''<sup>''n''</sup>，那麼φ是調和映射當且僅當φ是通常意義上的[[調和函數]]（即[[拉普拉斯方程]]的一個解）。這是[[狄利克雷原理]]的結果。若φ是滿射到''N''的開子集上的[[微分同胚]]，則φ給出一個[[調和座標系]]。
*在歐氏空間中的[[極小曲面]]都是調和[[浸入]]。
*更一般地，''N''中的極小子流形''M''是從''M''到''N''的調和浸入。
*全測地映射都是調和映射。（此時不僅∇dφ<sup>*</sup>h的跡（trace），連∇dφ<sup>*</sup>h也變為零。）
*[[凱勒流形]]間的任何[[全純函數|全純映射]]都是調和映射。

==度量空間的調和映射==
對於兩個[[度量空間]]之間的映射{{nowrap|''u'' : ''M'' → ''N''}}這個比黎曼流形弱的場合，能量積分也有相應的推廣。{{harv|Jost|1995}}這時用以下形式的函數代替能量積分：
:<math>e_\epsilon(u)(x) = \frac{\int_M d^2(u(x),u(y))\,d\mu^\epsilon_x(y)}{\int_M d^2(x,y)\,d\mu^\epsilon_x(y)}</math>
其中μ{{su|p=ε|b=''x''}}是依附在''M''每一點上的[[測度]]族。

==參考==
*{{citation|first1=J.|last1=Eells|first2=J.H.|last2=Sampson|jstor=2373037|title=Harmonic mappings of Riemannian manifolds|journal=Amer. J. Math.|volume=86|year=1964|pages=109–160}}.
*{{citation|first1=J.|last1=Eells|first2=J.|last2=Lemaire|title=A report on harmonic maps|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=10|year=1978|pages=1–68|doi=10.1112/blms/10.1.1}}.
*{{citation|first1=J.|last1=Eells|first2=J.|last2=Lemaire|title=Another report on harmonic maps|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=20|year=1988|pages=385–524}}.
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Equilibrium maps between metric spaces | doi=10.1007/BF01191341 | mr=1385525 | year=1994 | journal=Calculus of Variations and Partial Differential Equations | issn=0944-2669 | volume=2 | issue=2 | pages=173–204}}.
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=4th | isbn=978-3-540-25907-7 | year=2005}}.

== 外部連結 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/HarmonicMap.html MathWorld: Harmonic map]
* [http://people.bath.ac.uk/masfeb/harmonic.html Harmonic maps bibliography]
{{DEFAULTSORT:T調和映射}}
[[分類:黎曼幾何]]