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{{NoteTA|G1=Math}}

'''諾特環'''是[[抽象代數]]中一類滿足[[升鏈條件]]的[[環]]。[[希爾伯特]]首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後[[埃米·諾特]]從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。

== 定義 ==
一個環<math>A</math>稱作諾特環，若且唯若對每個由<math>A</math>的[[理想]]構成的升鏈<math>\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \ldots, \subset\mathfrak{a}_n \subset\ldots</math>，必存在<math>N \subset \mathbb{N}</math>，使得對所有的<math>n,m \geq N</math>都有<math>\mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_m</math>（換言之，此升鏈將會固定）。

另外一種等價的定義是：<math>A</math>的每個理想都是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義'''左諾特環'''與'''右諾特環'''。<math>A</math>是左（右）諾特環若且唯若<math>A</math>在自己的左乘法下形成一個左（右）[[諾特模]]。對於交換環則無須分別左右。

== 基本性質 ==
* 若<math>A_1, A_2</math>是諾特環，則其[[直積]]<math>A_1 \times A_2</math>亦然。
* 若<math>A</math>是諾特環，<math>I \subset A</math>是任一理想，則其商環<math>A/I</math>亦然。
* 若<math>A</math>是諾特環，則其上的[[多項式]]環<math>A[X]</math>及[[冪級數]]環<math>A[[X]]</math>都是諾特環。
* 若<math>A</math>是交換諾特環，則其對任一積性子集<math>S</math>的[[局部化]]也是諾特環。
* 若<math>A</math>是交換環，<math>\mathfrak{q} \subset A</math>為一有限生成理想，且<math>A/\mathfrak{q}</math>是諾特環，則其[[完備化]]<math>\widehat{A} = \lim_n A/\mathfrak{q}^n</math>也是諾特環。
* 一個左（右）[[阿廷環]]必定是左（右）諾特環。

== 例子 ==
* 整數環<math>\mathbb{Z}</math>是諾特環。
* 對任意的[[域]]<math>k</math>，多項式環<math>k[X_1,\ldots,X_n]</math>及其商是諾特環。這是[[代數幾何]]中最常見的情形。

以下是非諾特環的例子：
* 考慮有可數個變元的多項式環<math>k[X_1, X_2, \ldots]</math>，並考慮升鏈<math>(X_1) \subset (X_1, X_2) \subset \cdots \subset (X_1, \ldots, X_n) \subset \cdots</math>，此升鏈不會固定。
* 考慮<math>\mathbb{R}</math>上的全體[[連續函數]]，它們在逐點作乘法下構成一個環。考慮升鏈<math>I_n := \{f :  x \geq n \Rightarrow f(x)=0 \}</math>，此升鏈不會固定。

==参见条目==
* [[埃雷斯曼联络]]
* [[仿射联络]]
* [[曲率形式]]

== 文獻 ==
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

{{ModernAlgebra}}

[[Category:交換代數|N]]
[[Category:抽象代數|N]]
[[Category:環論|N]]