查看“调和测度”的源代码

[[數學]]中，'''調和測度'''是[[調和函數]]理論中出現的一個概念。给定了一个[[解析函数]]的[[模长|模]]在一个区域 ''D'' [[边界 (拓扑学)|边界]]上的[[上界和下界|界]]，能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域，一个[[伊藤扩散]] ''X'' 的调和测度描绘了 ''X'' 撞击 ''D'' 边界的分布。

==定義==

设 ''D'' 是 ''n''-[[维数|维]][[欧几里得空间]]中一个[[有界集合|有界]][[开集|开区域]]，''n''&nbsp;&ge;&nbsp;2，记 &part;''D'' 为 ''D'' 的边界。任何[[连续函数]] ''f''&nbsp;:&nbsp;&part;''D''&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R''' 惟一确定一个[[调和函数]] ''H''<sub>''f''</sub> 满足[[狄利克雷问题]]：

:<math>\begin{cases} - \Delta H_{f} (x) = 0, & x \in D; \\ H_{f} (x) = f(x), & x \in \partial D. \end{cases}</math>

如果点 ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''D'' 取定，''H''<sub>''f''</sub>(''x'') 确定了 &part;''D'' 上的一个非负[[拉东测度]] ''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'')：

:<math>H_{f} (x) = \int_{\partial D} f(y) \, \mathrm{d} \omega(x, D) (y).</math>

这个测度 ''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'') 称为关于区域 ''D'' 和点 ''x'' 的'''调和测度'''。

==性質==
* 对任何 &part;''D'' 中的[[波萊爾集]] ''E'' ，调和测度 ''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'')(''E'') 等于Direchlet 问题中边界函数取 ''E'' 的[[示性函数]]的解在 ''x'' 点的取值。故''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'')(''E'') 是 ''x'' 的调和函数。

* 对取定的 ''D'' 和  ''E''&nbsp;&sube;&nbsp;&part;''D''， ''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'')(''E'') 是''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''D'' 的一个调和函数，且

::<math>0 \leq \omega(x, D)(E) \leq 1;</math>
::<math>1 - \omega(x, D)(E) = \omega(x, D)(\partial D \setminus E);</math>

:从而，对任何 ''x'' 和 ''D''，''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'') 是 &part;''D'' 上的[[概率测度]]。

* 只要在 ''D'' 中有一点 ''x'' 满足 ''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'')(''E'')&nbsp;=&nbsp;0 ，那么根据[[极大值原理|极小值原理]]，''&omega;''(''x'',&nbsp;''D'')(''E'') 对任何 ''x'' 恒等于 0，在这种情况下称 ''E'' 是一个'''零调和测度'''集。进一步，如果 '''R'''<sup>''n''</sup> 中[[紧集]] ''K'' 关于某个区域 ''D'' 的调和测度为 0，那么 ''K'' 关于任何区域的调和测度都是 0，这种情况[[当且仅当]] ''K'' 的[[调和体积]]为 0。

==举例和应用==
要计算出一个一般区域的调和测度是困难的，但是对于平面 '''R'''<sup>2</sup> 上一些常见的区域的边界上某些子集，我们可以直接写出调和测度。
* ''D'' 为圆域，''E'' &sube; &part;''D'' 是长为 ''2α'' 的圆弧，设 ''θ''(x) 为点 ''x'' &isin; ''D'' 对圆弧 ''E'' 的[[视角]]，则：
:<math>\omega(x,D)(E) = \frac{\theta(x)-\alpha}{\pi} .</math>
* ''D'' 为以[[原点]]为中心内外[[半径]]为 ''r''、''R'' 的[[圆环]]域，''E''<sub>1</sub>、''E''<sub>2</sub> 分别为内外边界，则对所有 ''x'' &isin; ''D'' 有：
:<math>\omega(x,D)(E_1)=\frac{ \log R-\log| x|}{\log R-\log r} ;</math>
:<math>\omega(x,D)(E_2)=\frac{\log |x|-\log r}{\log R-\log r} .</math>

若已知调和函数的模在边界上的估计，利用调和测度就可得到内部模的一个估计。譬如，如果 &part;''D'' 分为 ''E''<sub>1</sub> 和 ''E''<sub>2</sub> 两部分（多部分一样），设调和函数 ''f'' 的模长在 ''E''<sub>1</sub>、''E''<sub>2</sub> 上分别有界 ''M''<sub>1</sub>、''M''<sub>2</sub>，那么 ''f'' 在 ''D'' 内部 ''x'' 点有界：
:<math>|f(x)| \leq \omega(x,D)(E_1) M_1 + \omega(x,D)(E_2) M_2 \; .</math>

设 ''D''、''E''<sub>1</sub>、''E''<sub>2</sub> 为第二个例子，取 ''f''(''x'') = |log(''h''(''x''))|，这里 ''h''(''x'') 是环域上一个全纯函数，我们便可得到[[阿达马]]的[[三圆定理]]。

==擴散的調和測度==
考虑始于区域 ''D'' 内部某一点 ''x'' 的一个取 '''R'''<sup>''n''</sup> 值的 Itō 扩散 ''X''，具有规律 '''P'''<sup>''x''</sup>。假设我们要知道 ''X'' 逃逸出 ''D'' 的点分布。譬如，[[实数轴]]上开始于 0 点，位于[[区间]] (&minus;1,&nbsp;+1) 的标准[[布朗运动]]，在 &minus;1 的概率是 1/2，在 +1 的概率是 1/2，所以 ''B''<sub>''&tau;''<sub>(&minus;1,&nbsp;+1)</sub></sub> 是集合{&minus;1,&nbsp;+1} 上的[[一致分布 (离散)|一致分布]]。

一般的，如果 ''G'' [[紧嵌入]] '''R'''<sup>''n''</sup>，那么 ''X'' 在 ''G'' 的 &part;''G''的'''调和测度'''（或'''撞击分布'''）为测度 ''&mu;''<sub>''G''</sub><sup>''x''</sup>，定义为：

:<math>\mu_{G}^{x} (F) = \mathbf{P}^{x} \big[ X_{\tau_{G}} \in F \big]</math>

对 ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''G'' 和 ''F''&nbsp;&sube;&nbsp;&part;''G''。

回到首先布朗运动的例子，我们可以证明如果 ''B'' 是一个 '''R'''<sup>''n''</sup> 内开始于 ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> 的布朗运动，且 ''D''&nbsp;&sub;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> 是一个以 ''x'' 为中心的[[开球体]]，那么 ''B'' 在 &part;''D'' 的调和测度在 ''D'' 绕 ''x'' 的所有[[旋转]]下是[[测度不变|不变]]的，从而调和测度等于 &part;''D'' 上的[[曲面测度]]。

==參考文獻==

* {{cite book 
| last = Øksendal
| first = Bernt K.
| authorlink = Bernt Øksendal
| title = Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications 
| edition = Sixth edition
| publisher=Springer
| location = Berlin 
| year = 2003 
| isbn = 3-540-04758-1
}} {{MathSciNet|id=2001996}} (See Sections 7, 8 and 9)

* {{cite book 
| last = Ahlfors
| first = Lars V.
| authorlink = Ahlfors
| title = Complex Analysis
| edition = Third edition
| publisher=China Machine Press
| location = Beijing
| year =  2004 
| isbn = 711113416
}}(See Sections 6.5.1)

*Solomentsev, E.D. (2001), [http://eom.springer.de/H/h046500.htm ''Harmonic measure''], in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[[Category:测度论|T]]
[[Category:調和分析|T]]