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{{noteTA|G1=数学}}
{{无穷级数}}
'''调和级数'''（英语：'''Harmonic series'''）是一个[[发散级数|发散的]][[无穷级数]]，表达式为：

: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\!</math>

这个级数名字源于[[泛音]]及[[泛音列]]（泛音列与调和级数英文同为''harmonic series''）：一条振动的弦的泛音的波长依次是[[基本频率|基本波长]]的<math>\frac{1}{2}</math>、<math>\frac{1}{3}</math>、<math>\frac{1}{4}</math>……等等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的[[调和平均数]]；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。

== 历史 ==
早在14世纪，[[尼克尔·奥里斯姆]]已经证明调和級數发散，但知道的人不多。17世纪时，{{link-it|皮耶特罗·曼戈里|Pietro Mengoli}}、[[约翰·伯努利]]和[[雅各布·伯努利]]完成了全部證明工作。

调和序列历来很受建筑师重视；这一点在[[巴洛克]]时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。<ref>George L. Hersey, ''Architecture and Geometry in the Age of the Baroque'', p 11-12 and p37-51.</ref>

== 佯谬 ==
[[File:Harmonischebrueckerp.jpg|thumb|right|250px|只要有足够多的骨牌，最顶层骨牌离最底层的距离就可以无穷远。可以发现，图中骨牌排列的形状就像顺时针旋转90°的[[对数函数]]，也即函数''y''=1/''x''的[[不定积分]]。]]
对刚接触这个级数的人而言，调和级数是违反直觉的——尽管随着<math>n</math>不断增大，<math>\frac{1}{n}</math>无限接近0，但它却是一个[[发散级数]]。调和级数也因此成为一些[[佯谬]]的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。<ref name="autogenerated258">{{Citation | last1=Graham | first1=Ronald | author1-link=Ronald Graham | last2=Knuth | first2=Donald E. | author2-link=Donald Knuth | last3=Patashnik | first3=Oren | author3-link=Oren Patashnik | title=Concrete Mathematics | publisher=[[Addison-Wesley]] | edition=2nd | isbn=978-0-201-55802-9 | year=1989 | pages=258–264}}</ref>假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：<math>n</math>分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：

:<math>\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.</math>

由于调和级数发散（证明见本条目“[[调和级数#发散性|发散性]]”一节），即<math>n</math>趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为<math>e^{100}</math>，超过10<sup>40</sup>（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。

另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌與最底层骨牌水平距離无穷远。<ref name="autogenerated258"/><ref>{{citation|first=R.T.|last=Sharp|title=Problem 52: Overhanging dominoes|journal = Pi Mu Epsilon Journal|year=1954|pages=411–412}}</ref>一个较简单的证明如下：

设每一块骨牌的长度为<math>l_0</math>。再设一叠<math>n</math>个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为<math>d_n</math>；在只有1个骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即<math>d_1\,=\,\frac{l_0}{2}</math>。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为<math>l_n</math>，则有：<math>d_n+l_n=l_0</math>。根据[[质心]]的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：

:<math>d_{n+1}\,=\,\frac{(d_n+l_n)n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot (n+1)-\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,l_0-
\frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}</math>

则<math>l_{n+1} = l_0 - d_{n+1} = \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}</math>，即<math>l_n = \frac{l_0}{2} \cdot \frac{1}{n}</math>。

也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的<math>\frac{1}{2}</math>，第二、三层间水平距离是骨牌长度的<math>\frac{1}{4}</math>，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的<math>\frac{1}{6}</math>……依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：

:<math>l_{\mathrm{total}} = \frac{l_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}</math>

因为调和级数发散，所以当骨牌数目<math>n</math>趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。

== 发散性 ==

=== 比较审敛法 ===

: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.</math>

:::<math> \quad\ \ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!</math>

:::<math> = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!</math>

:::<math> = 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.</math>

因此该级数发散。

=== 积分判别法 ===

[[Image:Integral Test.svg|thumb|right|250px]]
通过将调和级数的和与一个[[瑕积分]]作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高<math>\frac{1}{n}</math>个单位（换句话说，每个长方形的面积都是<math>\frac{1}{n}</math>），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和：
矩形面积和:<math>= 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots.
</math>
而曲线<math>y=\frac{1}{x}</math>以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：
曲线下面积:<math>= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx \;=\; \infty.
</math>
由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：

:<math>
\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1).
</math>
这个方法的拓展即[[积分判别法]]。

=== 反证法 ===

假设调和级数收敛 , 则：

<math>\lim _{n \to \infty} S_{2n}-S_n=0</math>

但与
<math>S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}</math>
矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

== 发散率 ==
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前10<sup>43</sup>项的和还不足100。<ref>Sequence {{OEIS2C|A082912}} in the [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]</ref>这是因为调和数列的部分和呈[[对数增长]]。特别地，
:<math>\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k </math>

其中<math>\gamma</math>是[[欧拉-马歇罗尼常数]]，而<math>\epsilon_k</math>约等于<math>\frac{1}{2k}</math>，并且随着<math>k</math>趋于正无穷而趋于<math>0</math>。这个结果由[[欧拉]]给出。

当然无论调和级数发散率再怎样低，其都不是发散率最慢的级数，仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。

== 部分和 ==

调和级数的第<math>n</math>个''部分和''为：

: <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!</math>

也叫作第n个'''[[调和数]]'''。

第n个调和数与<math>n</math>的[[自然对数]]的差值（即<math>\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n</math>）收敛于[[欧拉-马歇罗尼常数]]。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了<math>n=1</math>时以外，没有任何一个调和数是整数。<ref>http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html</ref>

== 相关级数 ==
===交错调和级数===
[[Image:Alternating Harmonic Series.PNG|right|thumb|240px|此图显示，交错调和级数的前14个部分和（图中'''黑色'''线段）收敛于2的自然对数（<span style="color:red">'''红色'''</span>直线）。]]
如下级数：
: <math>
\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots
</math>
被称作'''交错调和级数'''。这个级数可经[[交错级数判别法]]证明收敛。特别地，这个级数的和等于2的[[自然对数]]：
:<math>1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.</math>
这个公式是[[墨卡托级数]]（自然对数的[[泰勒级数]]形式）的一个特例。

从[[反正切|反正切函数]]的泰勒展开式可以导出一个相关级数：
: <math>
\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.
</math>
这个级数也被称作[[π的莱布尼茨公式]]。

===广义调和级数===

'''广义调和级数'''是指有如下形式的级数：

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}.\!</math>

其中<math>a \ne 0</math>且<math>b</math>为实数。

由[[比较审敛法]]可证所有广义调和级数均发散。
<ref>
Art of Problem Solving:
[http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Harmonic_series#General_Harmonic_Series "General Harmonic Series"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110728025322/http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Harmonic_series |date=2011-07-28 }}
</ref>

===<math>p</math>-级数===

调和级数广义化的其中一个结果是<math>p</math>'''-级数'''，定义如下：

:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\!</math>

其中P是任意正实数。当<math>p=1</math>，<math>p</math>-级数即调和级数。由[[积分判别法]]或[[柯西稠密判定法]]可知<math>p</math>-级数在<math>p>1</math>时收敛（此时级数又叫'''过调和级数'''（over-harmonic series）），而在<math>p\leq 1</math>时发散。
当<math>p>1</math>时，<math>p</math>-级数的和即<math>\zeta (p)</math>，也就是[[黎曼ζ函数]]在<math>p</math>的值。

=== <math>\varphi</math>-级数 ===

对一个凸实值函数<math>\varphi</math>，若满足以下条件：
:<math>\limsup_{u\to 0^{+}}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}< \frac{1}{2} </math>
则级数<math>\textstyle \sum_{n\geq 1} \displaystyle \varphi(n^{-1})</math>收敛。

===随机调和级数===

随机调和级数定义如下：

:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!</math>

其中<math>s_n</math>是[[统计独立性|独立]]的、恒等分布的随机变量，取值范围为+1和-1，取这两个值的概率都是<math>\frac{1}{2}</math>。[[阿尔伯塔大学]]的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，<ref>"Random Harmonic Series", ''American Mathematical Monthly'' 110, 407-416, May 2003</ref><ref>[http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf Schmuland's preprint of ''Random Harmonic Series'']</ref>并发现这个级数收敛的概率为1，并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地，这个随机变量的[[概率密度函数]]在+2和-2处的值为{{gaps|0.124|999|999|999|999|999|999|999|999|999|999|999|999|999|764&hellip;}}，与<math>\frac{1}{8}</math>只差了不到10<sup>&minus;42</sup>。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是<math>\frac{1}{8}</math>。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分<math>C_2</math>除以<math>\pi</math>而给出的。<ref>Weisstein, Eric W. “Infinite Cosine Product Integral.” From MathWorld – a Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InfiniteCosineProductIntegral.html accessed 11/14/2010</ref>

===贫化调和级数===
贫化调和级数（{{le|肯普纳级数|Kempner series}}）是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的，其和的极限为80。<ref>[http://www.qbyte.org/puzzles/p072s.html Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72]</ref>实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

== 拉玛努金和 ==
调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法（如[[博雷尔和|博雷尔求和法]]）对它也不适用。但是，调和级数的[[拉马努金求和|拉玛努金和]]存在，且为[[欧拉-马歇罗尼常数]]。

== 参见 ==
{{Commons category|Harmonic series}}
* [[无穷级数]]
* [[调和平均数]]
* [[黎曼ζ函数]]

== 参考 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20110716200825/http://faculty.prairiestate.edu/skifowit/htdocs/harmapa.pdf "The Harmonic Series Diverges Again and Again"], ''The AMATYC Review'', 27 (2006), pp.&nbsp;31–43. Many proofs of divergence of harmonic series.

[[Category:发散级数]]