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{{refimprove|time=2017-02-11T02:29:17+00:00}}
在[[数学]]中，特别是在[[泛函分析]]中，[[有界算子]]的'''谱'''是[[矩阵]]的[[特征值和特征向量|特征值]]集合的推广。具体来说，對於有界线性算子''T''，如果''T''-λ''I''不[[反函數|可逆]]，其中''I''是[[恆等函數|恒等算子]]，則[[复数]]λ會被认为属于''T''的谱中。谱和相关性质的研究被称为[[谱理论]]，其具有许多应用，最值得注意的是[[量子力学]]的[[量子力學的數學表述|数学表述]]。

[[向量空间的维数|有限维]][[向量空间]]上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑[[希尔伯特空间]][[Lp空间|ℓ<sup>2</sup>]]上的[[右移]]算子''R''，
: <math>(x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots)</math>。
该算子没有特征值，因为如果''Rx''=λ''x''，则通过展开表达式可以得到''x''<sub>1</sub>=0，''x''<sub>2</sub>=0……<span>另一方面，0在谱中，因为算子''R''-0（即''R''自身）不可逆：因为第一项非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是满射。事实上，[[复数 (数学)|复]][[巴拿赫空间]]上的每个有界线性算子都必有非空谱。

谱的概念可以扩展到[[稠定]][[无界算子]]。在这种情况下，[[复数]]λ被认为是在算子''T'':''D''→''X''（其中''D''在''X''中稠密）的谱中，如果没有有界逆(λ''I''-''T'')<sup>−1</sup>:''X''→''D''。如果T是[[无界算子|闭算子]]（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空间''X''上的有界线性算子''B''(''X'')是[[有单位的]][[巴拿赫代数]]的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外，谱的定义没有涉及''B''(''X'')的任何性质，所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。

== 有界算子的谱 ==

=== 定义 ===
作用在巴拿赫空间<math>X</math>上的<math>T</math>是标量域<math>\mathbb{K}</math>上的有界线性算子，且<math>I</math>是<math>X</math>上的[[恆等函數|恒等算子]]。<math>T</math>的'''谱'''是所有使得算子<math>\lambda I-T</math>没有有界线性逆的<math>\lambda\in \mathbb{K}</math>的集合。

由于<math>\lambda I-T</math>是一个线性算子，所以如果它的逆存在，则一定是线性的；并且，通过[[有界逆定理]]可知，它的逆是有界的。 因此，谱正好由那些使得<math>\lambda I - T</math>不是[[双射]]的标量<math>\lambda</math>组成。

给定算子<math>T</math>的谱通常记为<math>\sigma(T)</math>，而它的补集，也即[[预解集]]，记为 <math>\rho(T) = \mathbb{K} \setminus \sigma(T)</math>。

=== 谱和特征值 ===
如果<math>\lambda</math>是<math>T</math>的特征值，则算子<math>T-\lambda I</math>不是一一映射，因此其逆<math>(T-\lambda I)^{-1}</math>没有定义。但否命题是不对的：即使<math>\lambda</math>不是特征值,算子<math>T - \lambda I</math>可能也没有逆。因此，算子的谱总是包含其所有特征值，但却不限于此。

例如考虑希尔伯特空间<math>\ell^2(\mathbb{Z})</math>，它由所有[[序列|双向无限实数序列]]
: <math>v = (\ldots, v_{-2},v_{-1},v_0,v_1,v_2,\ldots)</math>
构成，这些序列须满足平方和<math>\sum_{i=-\infty}^{+\infty} v_i^2</math>有限。双向[[移位算子]]<math>T</math>简单地将序列的每个元素移动一个位置；即如果<math>u = T(v)</math>则对所有整数<math>i</math>有<math>u_i = v_{i-1}</math>。特征值方程<math>T(v) = \lambda v</math>在该空间中无解，因为如果有解则意味着所有<math>v_i</math>拥有相同的绝对值（如果 <math>\lambda = 1</math>）或者是等比数列（如果 <math>\lambda \neq 1</math>）；无论哪种情形，它们的平方和都不可能有限。然而，算子<math>T-\lambda I</math>在<math>|\lambda| = 1</math>时不可逆。例如满足<math>u_i = 1/(|i|+1)</math>的序列<math>u</math>属于<math>\ell^2(\mathbb{Z})</math> ；但是不存在<math>\ell^2(\mathbb{Z})</math>中的序列<math>v</math>使得<math>(T-I)v = u</math>（即对所有<math>i</math>有<math>v_{i-1} = u_i + v_i</math>）。

=== 基本性质 ===
有界算子''T''的谱总是[[复平面]]的[[空集|非空]][[闭集|闭]][[有界集合|有界]]子集。

如果谱是空的，那么[[预解函数]]
: <math>R(\lambda) = (\lambda I - T)^{-1}</math>，
在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明，预解函数''R''在其定义域是[[全纯]]的。通过向量值情形的[[刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理]]可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零，所以恒为零。产生矛盾。 

<span>谱的有界性由关于</span>''λ''的[[诺伊曼级数]]展开得出；频谱''σ''(''T'')有界||''T''||。类似的，可以证出谱是闭集。

谱的界||''T''||可以稍作改进。''T''的[[谱半径]]''r''(''T'')是复平面上最小的包含谱σ(''T'')以原点为圆心的圆的半径，即 
: <math>r(T) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}</math>。
谱半径公式指出，<ref>Theorem 3.3.3 of Kadison & Ringrose, 1983, ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. ''</ref>对于[[巴拿赫代数]]的任何元素''T''有
: <math>r(T) = \lim_{n \to \infty} \|T^n\|^{1/n}</math>。

== 算子谱点分类 ==
巴拿赫空间上的有界算子''T''可逆（即有有界逆），当且仅当''T''有正下界且值域稠密。 因此，T的谱可以分为以下部分：
# 如果&#x3BB;''I''-''T''没有正下界，则&#x3BB;∈&#x3C3;(''T'')。&#x7279;&#x522B;&#x5730;&#xFF0C;&#x8FD9;&#x5305;&#x542B;&#x3BB;''I''-''T''不是单射即&#x3BB;是特征值的情形。特征值集合被称为''T''的'''点谱'''，记为&#x3C3;<sub>p</sub>(''T'')。 另一情形，&#x3BB;''I''-''T''是一一映射但没有正下界。&#x8FD9;&#x6837;&#x7684;&#x3BB;不是特征值，而是''T''的近似特征值（特征值本身也是近似特征值）。近似特征值集合（包含点谱）被称为''T''的'''近似点谱'''，记为&#x3C3;<sub>ap</sub>(''T'')。
# 如果&#x3BB;''I''-''T''值域不稠密，则&#x3BB;∈&#x3C3;(''T'')。&#x8FD9;&#x6837;&#x7684;&#x3BB;的集合被称为'''压缩谱'''，记为&#x3C3;<sub>cp</sub>(''T'')。它的子集，使得&#x3BB;''I''-''T''值域不稠密但是单射的&#x3BB;的集合，被称为''T''的'''剩余谱'''，记为&#x3C3;<sub>r</sub>(''T'')。
注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交（但点谱和剩余谱不相交）。

以下小节提供了关于上述&#x3C3;(''T'')分类的更多细节。

=== 点谱 ===
如果一个算子不是单射（因此有某个非零的''x''满足''T''(''x'')=0），那它显然是不可逆的。 因此，如果&#x3BB;是''T''</span>的[[特征值]]，则必有&#x3BB;∈&#x3C3;(''T'')。''T''的特征值集合被称为''T''的'''点谱'''，记为&#x3C3;<sub>p</sub>(''T'')。

=== 近似点谱 ===
<span>更一般地，''T''如果没有正下界，则不可逆； 也就是说，不存在</span>''c''>0满足||''Tx''||≥''c''||''x''||对所有 ''x'' ∈ ''X'' 。因此，谱包括'''近似特征值'''集合，即使得 ''T'' -λ''I''  没有正下界的λ； 等价地，它是满足如下条件的λ的集合，存在单位向量''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...使得
: <math>\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0</math>。
近似特征值集合被称为'''近似点谱'''，记为'''σ<sub>ap</sub>(''T'')'''。

容易看出特征值属于近似点谱。

'''例子''' 考虑''l''<sup>2</sup>('''Z''')上双向移位算子''T''定义如下
: <math>
T(\cdots, a_{-1}, \hat{a}_0, a_1, \cdots) = (\cdots, \hat{a}_{-1}, a_0, a_1, \cdots)
</math>
其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知''T''没有特征值，但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值；令''x''<sub>''n''</sub>表示向量
: <math>\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)</math>
则对所有''n''有||''x''<sub>''n''</sub>||=1，但
: <math>\|Tx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0</math>。
由于''T''是酉算子，所以它的谱位于单位圆上。 因此''T''的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。 

酉算子是[[正规算子|正规]]的。由[[谱定理]]可知，希尔伯特空间H上的有界算子是正规的，当且仅当其等价于（将H等价为L^2空间）[[乘法算子]]。 可以证出，有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。

=== 剩余谱 ===
算子可以是单射甚至有正下界，但不可逆。''l'' <sup>2</sup>('''N''')上的单向[[移位算子]]就是一例。这个移位算子是一个[[等距同构]]，因此下界为1。但是它不可逆，因为它不是满射。满足λ''I''-''T''是单射但值域不稠密的λ的集合被称为'''剩余谱'''，记为'''σ<sub>r</sub>(''T'')'''。

=== 连续谱 ===
满足λ''I''-''T''是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合，被称为''T''的'''连续谱'''，记为'''σ<sub>c</sub>(''T'')'''。 因此，连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即
: <math>\sigma_c(T) = \sigma_{ap}(T) \setminus (\sigma_r(T) \cup  \sigma_p(T)) </math>。

=== 边缘谱 ===
算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。

=== 例子 ===
[[氫原子|氢原子]]提供了这种分解的例子。[[氫原子|氢原子]]的[[哈密顿算子]]的特征函数被称为'''本征态'''，并被分为两类。 氢原子的[[束缚态]]对应于谱的离散部分（它们具有离散的特征值集合，可由[[里德伯公式]]计算得到），而[[电离]]过程的最终结果由连续部分描述（碰撞/电离的能量不是“量子化的”）。

== 进一步结果 ==
如果''T''是一个[[紧算子]]，则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说，这种算子的谱，被定义为特征值概念的推广，在这种情形下仅包括通常的特征值和0（可能有）。

如果''X''是[[希尔伯特空间]]且''T''是[[正规算子]]，则有被称为[[谱定理]]的显着结果，给出了正规有限维算子的对角化定理的类比（例如埃尔米特矩阵）。

== 无界算子的谱 ==
可以推广谱的定义用于[[巴拿赫空间]]''X''上的[[无界算子]]，这些算子不再是巴拿赫代数''B''(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在'''预解集'''中，即线性算子''T''
: <math>T: D \subset X \to X</math>
的谱的[[补集]]，如果算子
: <math>T-\lambda I: D \to X</math>
有有界逆，即如果存在有界算子
: <math>S : X \rightarrow D</math>
使得
: <math>S (T - I \lambda) = I_D, \,  (T - I \lambda) S  = I_X</math>。
如果该性质不满足，则复数λ在'''谱'''中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。 

无界算子的谱通常是复平面的闭子集，可能为空集。

对于预解集中的''λ''（即不在谱中），与有界情形相同，λ''I''-''T'' 必须是双射，因为它必须有双边逆。 如前所述，如果逆存在，则其线性直接可得，但一般来说，它可能无界，因此必须单独检验该条件。

<span>然而如果引入了''T''是[[无界算子|闭算子]]的附加假设，由[[闭图像定理]]可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此，与有界情情形相同，复数</span>''λ''位于闭算子''T''的谱中，当且仅当λ''I''-''T''不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。

通过其[[谱测度]]，可以定义任何自伴算子的谱分解，有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。

== 有单位的巴拿赫代数的谱 ==
令''B''为包含[[单位 (环论)|单位]]''e''的复[[巴拿赫代数]]。我们定义''B''的元素''x''的谱σ(''x'')（或更明确地σ<sub>''B''</sub>(''x'')）为使λ''e''-''x''在''B''中不可逆的那些[[复数]]λ的集合。这推广了巴拿赫空间''X''上有界线性算子''B''(''X'')的谱的定义，因为''B''(''X'')是一个巴拿赫代数。

== 参见 ==
* {{link-en|本性谱|Essential spectrum}}
* [[自伴算子]]
* {{link-en|伪谱|Pseudospectrum}}
* {{link-en|预解集|Resolvent set}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* Dales et al., ''Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis'', ISBN 0-521-53584-0
* {{Springer|title=Spectrum of an operator|id=p/s086610}}
{{泛函分析}}

[[Category:泛函分析]]