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{{noteTA
|T=zh-hans:裴蜀定理; zh-hant:貝祖定理;
|G1=Math
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{{Otheruses4|数论中的贝祖等式|代数几何中的贝祖定理|贝祖定理}}

在[[数论]]中，'''裴蜀等式'''（{{lang-en|Bézout's identity}}）或'''貝祖定理'''（{{lang|en|Bézout's lemma}}）是一个关于[[最大公约数]]（或最大公约式）的[[定理]]。裴蜀定理得名于[[法国]][[数学家]][[艾蒂安·貝祖|艾蒂安·裴蜀]]，说明了对任何[[整數]]<math>a</math>、<math>b</math>和<math>m</math>，关于未知数<math>x</math>和<math>y</math>的[[線性方程|線性]][[丟番圖方程]]（称为'''裴蜀等式'''）：

:<math>ax+by=m</math>

有整数解时[[当且仅当]]''<math>m</math>''是<math>a</math>及<math>b</math>的[[最大公约数]]<math>d</math>的[[倍数]]。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解<math>x</math>、<math>y</math>都稱為'''裴蜀數'''，可用[[擴展歐幾里得演算法]]求得。

例如，12和42的最大公因數是6，则方程<math>12x+42y=6</math>有解。事实上有<math>(-3)\times 12+1\times 42=6</math>及<math>4\times 12+(-1)\times 42=6</math>。

特别来说，方程 <math>ax+by=1</math> 有整数解当且仅当整数''<math>a</math>''和''<math>b</math>''[[互素]]。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：<math>d</math>其實就是最小的可以寫成<math>ax+by</math>形式的正整數。这个定义的本质是[[整环]]中“[[理想 (环论)|理想]]”的概念。因此对于[[多项式环|多项式整环]]也有相应的裴蜀定理。

==历史==
历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家{{link-fr|克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克|Claude-Gaspard Bachet de Méziriac}}。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（''Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres''）第二版中给出了问题的描述和证明<ref>[http://cnum.cnam.fr/CGI/redir.cgi?8PY45 原版的网上版本（法文）]</ref>。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了[[多项式]]中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k106053p 证明的网上版本（法文）]</ref>。

==整数中的裴蜀定理==
对任意两个[[整數]]<math>a</math>、<math>b</math>，设<math>d</math>是它们的[[最大公约数]]。那么关于未知数<math>x</math>和<math>y</math>的[[線性方程|線性]][[丟番圖方程]]（称为'''裴蜀等式'''）：
:<math>\displaystyle ax+by=m</math>

有整数解<math>(x,y)</math> [[当且仅当]]''<math>m</math>''是<math>d</math>的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:108%;">'''证明'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:85%;">
如果 <math>a</math> 和 <math>b</math> 中有一个是0，比如<math>a=0</math>，那么它们两个的最大公约数是<math>b</math>。这时裴蜀等式变成<math>\displaystyle by=m</math>，它有整数解<math>(x,y)</math>当且仅当''<math>m</math>''是<math>b</math>的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为<math>x</math>可以是任何整数。定理成立。

以下设<math>a</math>和 <math>b</math>都不为0。

设<math>A = \{xa+yb; (x;y) \in \Z^2\}</math>，下面证明<math>A</math>中的最小正元素是<math>a</math>与<math>b</math>的最大公约数。

首先，<math>A \cap \N^*</math> 不是[[空集]]（至少包含<math>|a|</math>和<math>|b|</math>），因此由于自然数集合是[[良序]]的，<math>A</math>中存在最小正元素<math>d_0 = x_0a + y_0b</math>。考虑''<math>A</math>''中任意一个正元素<math>p</math>（<math>=x_1a + y_1b</math>）对<math>d_0</math>的[[带余除法]]：设<math>p=qd_0+r</math>，其中<math>q</math>为正整数，<math>0 \le r < d_0</math>。但是

: <math>r = p-qd_0 =x_1a + y_1b - q ( x_0a + y_0b) \in A</math>

因此 <math>r=0</math>，<math>d_0 \ | \ p</math>。也就是说，''<math>A</math>''中任意一个正元素''<math>p</math>''都是 <math>d_0</math> 的倍数，特别地：<math>d_0 \ | \ a</math>、<math>d_0 \ | \ b</math>。因此 <math>d_0</math> 是<math>a</math>和<math>b</math>的[[公约数]]。

另一方面，对<math>a</math>和<math>b</math>的任意正[[公约数]]<math>d</math>，设<math>a=kd</math>、 <math>b=ld</math>，那么
: <math>d_0 =x_0a + y_0b = ( x_0k + y_0l )d</math>

因此<math>d \ | \ d_0</math>。所以<math>d_0</math>是<math>a</math>和<math>b</math>的[[最大公约数]]。

在方程<math>ax+by=m</math>中，如果 <math> m= m_0 d_0</math>，那么方程显然有无穷多个解：
:<math>\left\{\left( m_0 x_0+\frac{kb}{d},\ m_0 y_0-\frac{ka}{d} \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} </math>。
相反的，如果<math>ax+by=m</math>有整数解，那么<math>|m| \in A</math>，于是由前可知 <math>d_0 \ | \ |m|</math>（即 <math>d_0 \ | \ m</math>）。
</div>
</div>

<math>m=1</math>时，方程有解当且仅当<math>a</math>、<math>b</math>互质。方程有解时，解的集合是
:<math> \left\{\left( \frac{m}{d} x_0+\frac{kb}{d},\ \frac{m}{d} y_0-\frac{ka}{d} \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} </math>。其中<math>(x_0,y_0)</math>是方程<math>ax+by=d</math>的一个解，可由[[辗转相除法]]得到。

所有解中，恰有二解(''x'',''y'') 满足<math>|x|\le|b/d|</math>及<math>|y|\le|a/d|</math>，等號只會在<math>a</math>及<math>b</math>其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

==例子==
裴蜀方程<math>504x+651y=14</math> 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程<math>504x+651y=21</math>是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：
:<math>24x+31y=1</math>。
通过[[扩展欧几里得算法]]可以得到一组解<math>(-9,7)</math>：<math>24 \cdot (-9) + 31 \cdot 7=-216 + 217 = 1</math>。

于是通解为：<math>\left\{ \left( 1 \cdot -9 + 31k, 1 \cdot 7-24k \right) | k \in \mathbb{Z} \right\}</math>，即
: <math>\left\{ \left( -9+31k, 7-24k \right) | k \in \mathbb{Z} \right\}</math>。

==多个整数间的裴蜀定理==

设<math>a_1, \cdots a_n</math>为<math>n</math>个整数，<math>d</math>是它们的最大公约数，那么存在整数<math>x_1, \cdots x_n</math> 使得 <math>x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n = d</math>。特别来说，如果<math>a_1, \cdots a_n</math>互质（不是两两互质），那么存在整数<math>x_1, \cdots x_n</math> 使得 <math>x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n = 1</math>。

==多项式环<math>K[X]</math>裡的貝祖定理==

<math>K</math>为[[域]]时，对于多项式环<math>K[X]</math>裡的[[多项式]]，裴蜀定理也成立。设有一族<math>\mathbb{K}[X]</math>裡的多项式<math>\left(P_i\right)_{i\in I}</math>。设<math>\Delta</math>为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式<math>\left(A_i\right)_{i\in I}</math>使得<math>\textstyle \Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i</math>。特别来说，如果<math>\left(P_i\right)_{i\in I}</math>互质（不是两两互质），那么存在多项式<math>\left(A_i\right)_{i\in I}</math>使得<math>\textstyle \sum_{i\in I} A_iP_ = 1</math>。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

== 任意主理想环上的情况==
裴蜀可以推广到任意的[[主理想环]]上。设环<math>A</math>是主理想环，<math>a</math>和<math>b</math>为环中元素，<math>d</math>是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素<math>x</math>和<math>y</math>使得：
<center><math>ax + by = d</math></center>

这是因为在主理想环中，<math>a</math>和<math>b</math>的最大公约元被定义为理想<math>aA+bA</math>的[[生成元]]。

==参见==
*[[理想 (环论)]]
*[[歐幾里德域|欧几里德整环]]
*[[欧几里德引理]]
*[[主理想环]]
*[[整除]]

==参考来源==
{{reflist}}
*闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。
*唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

==外部連結==
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/arithmetic/bezout.en 線上計算器]

[[Category:丟番圖方程|Bézout]]
[[Category:数学定理|B]]
[[Category:数论]]