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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[數學]]裡，尤其是在[[抽象代數]]裡，[[交換環]]的'''質元素'''（prime element）是指滿足類似[[整數]]裡的[[質數]]或[[不可約多項式]]之性質的一個數學物件。須注意的是，質元素與[[不可約元素]]之間並不相同，雖然在[[唯一分解整環]]裡是一樣的，但在一般情況下則不一定相同。

==定義==
[[交換環]] R 的元素 p 被稱為'''質元素'''，若該元素不為 0 或[[單位元素]]，且若 p [[整除]] ab（a 與 b 為 R 內的元素），則 p 整除 a 或 p 整除 b。等價地說，一元素 p 為質元素，若且唯若由 p 產生的[[主理想]] (p) 為非零[[質理想]]<ref>{{harvnb|Hungerford|1980|loc=Theorem III.3.4(i)}} 如書中所證明的，這兩個陳述等價。</ref>。

對質元素的興趣來自於[[算術基本定理]]。該定理斷言，每個非零[[整數]]都可以以唯一一種方式寫成 1 或 -1 乘上一串正[[質數]]之乘積。這導致了對[[唯一分解整環]]的研究，推廣了僅在整數內被描述之概念。

一個元素是否為質元素，取決於該元素處於哪個環內；例如，2在 Z 裡是個質元素，但在[[高斯整數]]環 Z[i] 裡則不是，因為 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 無法整除等式右邊的任一因子。

==與質理想間的關連==
{{Main|質理想}}
環 R 內的一個理想 I 為[[質理想]]，若商環 R/I 為一[[整環]]。

一非零[[主理想]]為[[質理想]]，若且唯若該主理想由一質元素所產生。

==不可約元素==
{{Main|不可約元素}}
不可將質元素與[[不可約元素]]搞混。在一[[整環]]裡，每個質元素都是不可約元素<ref>{{harvnb|Hungerford|1980|loc=Theorem III.3.4(iii)}}</ref>，但反之不一定成立。不過，在唯一分解整環<ref>{{harvnb|Hungerford|1980|loc=Remark after Definition III.3.5}}</ref>（或更一般地，在[[GCD環]]）裡，質元素與不可約元素會是相同的元素。

舉例來說，在{{le|二次整數環|quadratic integer ring}}<math>\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]</math>中，可以用[[範數 (域論)|範數]]證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為 
:<math>3 \mid \left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)=9,</math> 

但 <math>3</math> 無法整除 <math>2 + \sqrt{-5}</math>，也無法整除 <math>2 - \sqrt{-5}</math>。<ref>{{cite book |author=William W. Adams and Larry Joel Goldstein |year=1976 |title=''Introduction to Number Theory''|pages=250 |publisher=Prentice-Hall, Inc. |isbn=0-13-491282-9}}</ref>

==例子==
下面為環裡的質元素之例子：
* 在整數環 Z 裡的整數 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ...
* 在[[高斯整數]]環 Z[i] 裡的複數 (1+i)、19 與 (2+3i)
* 在 Z 上之[[多項式環]] {{math|'''Z'''[''x'']}} 裡的多項式 {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} 與 {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}}

==參考資料==
;註記
{{reflist}}

;參考書籍
*Section III.3 of {{Citation
| authorlink=湯瑪斯·威廉·亨格福特
| last=Hungerford
| first=Thomas W.
| title=Algebra
| edition=Reprint of 1974
| year=1980
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=New York
| series=[[數學研究生教材|Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=73
| isbn=978-0-387-90518-1
| mr=0600654
}}
*{{citation   |author=Jacobson, Nathan   |title=Basic algebra. II   |edition=2   |publisher=W. H. Freeman and Company   |place=New York   |year=1989   |pages=xviii+686   |isbn=0-7167-1933-9   |mr=1009787}}

*{{citation   |author=Kaplansky, Irving   |title=Commutative rings   |publisher=Allyn and Bacon Inc.   |place=Boston, Mass.   |year=1970   |pages=x+180   |mr=0254021 }}

[[Category:環論]]