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{{refimprove|time=2011-03-29T02:26:42+00:00}}
{{noteTA|T=zh:素數定理;zh-cn:素数定理;zh-tw:質數定理;zh-hk:質數定理;|G1=Math}}
在數論中，'''素数定理'''描述[[素数]]在自然數中分佈的[[漸進分析|漸進]]情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家[[雅克·阿達馬]]和比利時數學家德拉瓦·莱普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先後獨立給出證明。證明用到了[[複分析]]，尤其是[[黎曼ζ函數]]。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正[[實數]]''x''，定義π(''x'')為[[素数计数函数]]，亦即不大於''x''的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(''x'')的增長。以下是第一個這樣的估計。

:<math>\pi(x)\approx\frac{x}{\ln\,x}</math>

其中 ln ''x'' 為 ''x'' 的[[自然對數]]。上式的意思是當 ''x'' 趨近無限，π(''x'')與''x''/ln ''x''的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 ''x'' 增大而接近。

下面是對π(''x'')更好的估計：

:<math>\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln\,x}}\right)</math>，當''x'' 趨近∞。

其中<math>{\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln\,t}</math>（[[对数积分]]），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見[[大O符號]]。

== 敘述 ==
定義 π(''x'') 為[[素数计数函数]]，也就是小於等於''x'' 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 ''x'' 趨近無限，π(''x'') 和 <math>\frac{x}{\ln x}</math> 的比值趨近 1。其數學式寫做

:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}=1</math>。
淺白的說，當 ''x'' 很大的時候，π(''x'') 差不多等於 <math>\frac{x}{\ln x}</math>。該定理被認為是'''質數的漸進分布定律'''，以[[大O符号|漸進符號]]可簡化為
:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}</math>。

注意到，上式並不是說指隨著 ''x'' 趨近無限，<math>\pi(x)</math> 與 <math>\frac{x}{\ln x}</math>的差趨近於 0。而是隨著 ''x'' 趨近無限，<math>\pi(x)</math> 與 <math>\frac{x}{\ln x}</math>的[[逼近误差|相對誤差]]趨近於 0。

因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是<math>\frac{1}{\ln n}</math>。

質數定理有一個等價數是關於第 n 個素数 <math>p_n </math>的漸近估計式

:<math>p_n\sim n\ln\,n</math>

== 關於 {{math|''π''(''x'')}}、{{math|''x'' / ln ''x''}} 和 {{math|li(''x'')}} 的數值 ==

下表比較了π(''x'')，''x''/ln ''x''和Li(''x'')：

:{| class="wikitable" style="text-align: right"
! <math>x</math> 
! <math>\boldsymbol{\pi}(x)</math><ref>{{OEIS2C|id=A006880}}</ref>
! <math>\boldsymbol{\pi}(x)-\frac{x}{\ln x}</math><ref>{{OEIS2C|id=A057835}}</ref>
! <math>\frac{\boldsymbol{\pi}(x)}{\frac{x}{\ln x}}</math>
! <math>{\rm Li} (x) - \boldsymbol{\pi} (x)</math><ref>{{OEIS2C|id=A057752}}</ref>
! <math>\frac{x}{\boldsymbol{\pi}(x)}</math>
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 0.921
| 2.2
| 2.500
|-
| 10<sup>2</sup>
| 25
| 3.3
| 1.151
| 5.1
| 4.000
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 1.161
| 10
| 5.952
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1,229
| 143
| 1.132
| 17
| 8.137
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9,592
| 906
| 1.104
| 38
| 10.425
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78,498
| 6,116
| 1.084
| 130
| 12.740
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664,579
| 44,158
| 1.071
| 339
| 15.047
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5,761,455
| 332,774
| 1.061
| 754
| 17.357
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1.054
| 1,701
| 19.667
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455,052,511
| 20,758,029
| 1.048
| 3,104
| 21.975
|-
| 10<sup>11</sup>
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 1.043
| 11,588
| 24.283
|-
| 10<sup>12</sup>
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 1.039
| 38,263
| 26.590
|-
| 10<sup>13</sup>
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 1.034
| 108,971
| 28.896
|-
| 10<sup>14</sup>
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 1.033
| 314,890
| 31.202
|-
| 10<sup>15</sup>
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1.031
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 10<sup>16</sup>
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 1.029
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 10<sup>17</sup>
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 1.027
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 10<sup>18</sup>
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 1.025
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 10<sup>19</sup>
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,960
| 1.024
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 10<sup>20</sup>
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,701
| 1.023
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 1.022
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1.021
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 1.020
| 7,250,186,216
| 51.939
|-
|10<sup>24</sup>
|18,435,599,767,349,200,867,866
|339,996,354,713,708,049,069
|1.019
|17,146,907,278
|54.243
|-
|10<sup>25</sup>
|176,846,309,399,143,769,411,680
|3,128,516,637,843,038,351,228
|1.018
|55,160,980,939
|56.546
|-
|[[OEIS]]
|{{OEIS link|id=A006880}}
|{{OEIS link|id=A057835}}
|
|{{OEIS link|id=A057752}}
|}

== 歷史 ==
1797年至1798年間，法國數學家[[勒讓德]]根據上述的質數表猜測，<math>\pi(x)</math>大約等於 <math>\frac{x}{A\ln x +B}</math>，其中 A、B 是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：{{math|''A'' {{=}} 1}}，{{math|''B'' {{=}} −1.08366}}。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了<ref>C. F. Gauss. ''Werke'', Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.</ref>。1832年，[[狄利克雷]]經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 li(x)，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 <math>\pi(x)</math> 的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

俄國數學家[[切比雪夫]]參考了[[歐拉]]在1731年的工作，引進了定義在實數軸上[[黎曼ζ函數]]，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}</math>存在且有限，則它一定是1<ref>{{cite journal|title=A Short Proof of Chebyshev's Theorem|last=Costa Pereira|first=N.|date=August–September 1985|journal=American Mathematical Monthly|issue=7|doi=10.2307/2322510|volume=92|pages=494–495|jstor=2322510}}</ref>。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，<math>\frac{\;\pi(x)\;}\frac{x}{\ln(x)}</math>會界在兩個很靠近 1 的數字之間<ref>{{cite journal|title=On Chebyshev-Type Inequalities for Primes|last=Nair|first=M.|date=February 1982|journal=American Mathematical Monthly|issue=2|doi=10.2307/2320934|volume=89|pages=126–129|jstor=2320934}}</ref>。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 <math>\pi(x)</math> 已經可以推論出[[伯特蘭-切比雪夫定理]]：對任何大於 1 的正整數 n ，存在一個質數介於 n 和 2n 之間。

1859年，[[黎曼]]提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《{{Translink|en|On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude|論小於給定數值的質數個數}}》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將ζ函數的定義[[解析延拓]]到整個複數平面，並且將質數的分布與ζ函數的[[零點]]緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用[[複分析]]的方法研究實函數 <math>\pi(x)</math>。1896年法國數學家[[雅克·阿達馬]]和比利時數學家{{Translink|en|de la Vallée-Poussin|德·拉瓦莱·普桑}}先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數 s 可以寫成 {{math|1 + ''it''}} 的形式，且 t>0，則 <math>\zeta(s)\neq 0</math><ref>{{cite book|last=Ingham|first=A. E.|title=The Distribution of Prime Numbers|publisher=Cambridge University Press|year=1990|pages=2–5|isbn=978-0-521-39789-6}}</ref>。

進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年[[阿特勒·塞爾伯格|阿特勒·塞爾伯格]]和[[艾狄胥·帕爾]]發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了{{Translink|en|Tauberian theorem|陶伯定理}}讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家{{Translink|en|Donald J. Newman|唐納德·J·紐曼}}發現了一個簡潔的證明<ref>{{cite journal|title=Simple analytic proof of the prime number theorem|last=Newman|first=Donald J.|journal=[[American Mathematical Monthly]]|issue=9|doi=10.2307/2321853|year=1980|volume=87|pages=693–696|jstor=2321853|mr=0602825}}</ref><ref>{{cite journal|title=Newman's short proof of the prime number theorem|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/newmans-short-proof-of-the-prime-number-theorem|last=Zagier|first=Don|journal=American Mathematical Monthly|issue=8|doi=10.2307/2975232|year=1997|volume=104|pages=705–708|jstor=2975232|mr=1476753}}</ref>，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了[[柯西積分公式]]，因此一般不被視為是為初等的證明。

因為黎曼ζ函數與π(''x'')關係密切，關於黎曼ζ函數的[[黎曼猜想]]對[[數論]]很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家[[海里格·馮·科赫]]證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

:<math> \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right)</math>

至於大O項的常數則還未知道。{{请求来源}}

== 初等證明 ==

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家[[保羅·艾狄胥]]和挪威數學家[[阿特勒·塞爾伯格|阿特利·西爾伯格]]合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家[[高德菲·哈羅德·哈代|哈代]]便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進[[複數]]來解決。

==相關條目==
*[[抽象解析数论]]
==參考資料==
{{reflist}}

== 外部链接 ==

[[Category:素数]]
[[Category:数学定理|SSDL]]

[[pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych]]