查看“質數階乘”的源代码

{{noteTA|T=zh:質數階乘;zh-cn:素数阶乘;zh-tw:質數階乘;zh-hk:質數階乘;|1=zh:質數;zh-cn:素数;zh-tw:質數;zh-hk:質數|G1=Math}}
{{About|'''質數階乘'''|另一种用法|階乘質數}}
[[Image:Primorial pn plot.png|thumb|300px|''p<sub>n</sub>''# 是計算第''n''個'''質數階乘'''的[[函數]]]]
[[Image:Primorial n plot.png|thumb|300px|質數階乘''n''#（紅色的）與 階乘''n''!（綠色的）的比較]]
'''質數階乘'''（又稱：'''-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-階乘'''）是所有小於或等於該數的[[質數]]的[[積]]，[[自然數]]''n''的質數階乘，寫作''n''#。例如[[10]]以下的質數有：2,3,5,7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值，寫作p<sub>n</sub>#。例：第[[3|三]]個質數為5，所以p<sub>3</sub># = 5# = 5×3×2 = 30。<ref>本段是翻譯自日文"素数階乗"條目</ref>
質數階乘與[[階乘]]不同於，質數階乘是'''質數乘積'''而[[階乘]]是'''自然數乘積'''。
質數階乘由{{le|Harvey Dubner|Harvey Dubner}}定義並命名。

==用質數定義==
第''n''個質數''p<sub>n</sub>''的'''質數階乘'''''p<sub>n</sub>#''定義為前''n''個質數的[[積]]：<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>
:<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>

其中''p<sub>k</sub>''是第''k''個質數。

例如，''p<sub>5</sub>#''代表前五個質數的乘積：
:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>

前幾個'''質數階乘'''''p<sub>n</sub>#''是：
:[[1]], [[2]], [[6]], [[30]], [[210]], 2310{{OEIS|id=A002110}}

並定義''p<sub>0</sub>#'' = 1 為{{le|空積|empty product}}。

質數階乘''p<sub>n</sub>#''的漸進遞增為：
:<math>p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ]</math><ref name="OEIS A002110" />

其中：
*"exp"是[[指數函數]]''e''<sup>''x''</sup>
* "o"是[[大O符號]]<ref name="OEIS A002110" /><ref>本段（[[質數階乘#用質數定義]]）是翻譯自英文Primorial條目的"Definition for prime numbers"段落</ref>

==用自然數定義==
一般情況下，對於正整數''n''的一'''質數階乘'''''n#''（或稱作'''自然質數階乘'''）也可以被定義為：<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>
:<math>n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>

其中，π(''n'')是[[素數計數函數|質數計數函數]]{{OEIS|id=A000720}}，表示小於或等於某個實數''n''的質數的個數。

它等於：
:<math>
n\# =
\begin{cases}
    1 & \text{if }n = 1 \\
    n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \land n \text{ is prime} \\
    (n-1)\# & \text{if }n > 1 \land n \text{ is composite}
\end{cases}
</math>
*prime指[[質數]]，composite指[[合成數]]
例如，12# 代表質數≤ 12：
:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310</math>

因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：
:<math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310</math>

前幾個自然質數階乘''n#''是：
:[[1]], [[2]], [[6]], [[6]], [[30]], [[30]], [[210]], 210, 210, 210, [[2310]], 2310
不難發現當n為合成數時，''n#''的值總是與''(n-1)#''相同。例如上面提及的''12#  =  p<sub>5</sub>#  =  11#''，因為12為合成數。

''n#''的[[自然對數]]是第一個{{le|切比雪夫函數|Chebyshev function}}，记為<math>\theta(n)</math> 或 <math>\thetasym(n)</math>。<ref>{{Mathworld | urlname=ChebyshevFunctions | title=Chebyshev Functions}}</ref>

質數階乘''n#''的漸進遞增為：
:<math>\ln (n\#) \sim n</math>

質數階乘的概念可以用於證明[[歐幾里得定理|素數是無限的]]。（參見[[證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式]]）

<ref>本段（[[質數階乘#用自然數定義]]）是翻譯自英文條目Primorial中的Definition for natural numbers段落</ref>

== 恆等式 ==

[[黎曼ζ函數]]在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function <math>J_{k}(n)</math>表示：

<math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>

==質數階乘列表（部分）==
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
! ''n''
! ''n''#
! ''p<sub>n</sub>''
! ''p<sub>n</sub>''#
|-
| 0
| 1
| 無質數
| 1
|-
| 1
| 1
| 2
| 2
|-
| 2
| 2
| 3
| 6
|-
| 3
| 6
| 5
| 30
|-
| 4
| 6
| 7
| 210
|-
| 5
| 30
| 11
| 2310
|-
| 6
| 30
| 13
| 30030
|-
| 7
| 210
| 17
| 510510
|-
| 8
| 210
| 19
| 9699690
|-
| 9
| 210
| 23
| 223092870
|-
| 10
| 210
| 29
| 6469693230
|-
| 11
| 2310
| 31
| 200560490130
|-
| 12
| 2310
| 37
| 7420738134810
|-
| 13
| 30030
| 41
| 304250263527210
|-
| 14
| 30030
| 43
| 13082761331670030
|-
| 15
| 30030
| 47
| 614889782588491410
|}
==參見==
*[[質數]]（-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-）
*[[階乘]]
*[[歐幾里得數]]

== 參考文獻 ==
* Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". ''[[Journal of Recreational Mathematics | J. Recr. Math.]]'', 19, 197–203, 1987.
<references />
[[Category:整數數列|Z]]
[[Category:階乘與二項式主題]]
[[Category:素數]]
[[ru:Факториал#Праймориал или примориал]]