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在[[分析力学]]中，'''质量矩阵'''是[[质量]]到[[廣義坐標]]概念上的推广，它给出了系统[[广义坐标]]''q''的变化率和系统[[动能]]''T''的关系，即
:<math>T = \frac{1}{2} \dot q^\mathrm{T} M \dot q</math>
其中 <math>\dot q^\mathrm{T}</math> 是向量<math>\dot q</math>的 [[转置]] <ref name=Riley/>。若粒子质量<math>m</math> ，速度''v'', 那么单个粒子的动能''T''为
:<math>T \;=\; \frac{1}{2} m|v|^2 \;=\; \frac{1}{2} v\cdot m v </math>
将系统中每个粒子的位置用''q''表示，可推导出上述的一般关系式。

例如，在一维中讨论两体粒子系统。这样一个系统的位置具有2个自由度，每个粒子的位置都可由广义位置矢量描述：
:<math>\mathbf{x}=[x_1\, x_2]^\mathrm{T}</math>
假设粒子具有质量<math>m_1</math>和<math>m_2</math>，系统的[[动能]]为
:<math>E = \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{2} m_i \dot{x_i}^2</math>
将质量列写成矩阵
:<math>M=\begin{bmatrix}m_1&0\\0 & m_2\end{bmatrix}</math>
那么总[[动能]]由下列公式给出：
:<math>E=\frac{1}{2} \dot{\mathbf{x}}^\mathrm{T} M \dot{\mathbf{x}}</math>

在多维情况下，质量矩阵会变得更为复杂。例如，在二维情况下，一个给定的粒子具有两个自由度，因此，如果第''i'' 个粒子对应自由度''j'' 和''j''+1，那么
:<math>M_{j,j}=M_{j+1,j+1}=m_i</math>

在如[[刚体动力学]]之类质量是分布式的情况下的应用中，非对角线元素非零的情况也是存在的。

一般地，质量矩阵''M''依赖于位置矢量''q''，且随时间变化。[[拉格朗日力学]]中，[[常微分方程]]（组）描述了在系统中由粒子的位置所定义的广义坐标矢量随时间的变化。方程中的动能公式表示所有粒子的总动能。

==示例==

===二体线性系统 ===
[[File:Mass matrix masses in 1d.svg|thumb|一维空间中的质量系统.]]

考虑由仅限于直线轨道的两个点状物体。这样一个系统的位置具有2个自由度，每个粒子的位置都可由广义位置矢量''q''描述，即两个粒子沿着轨道的位置：
:<math>q=[x_1\, x_2]^\mathrm{T}</math>.
设粒子的质量分别为 ''m''<sub>1</sub>, ''m''<sub>2</sub>, 系统的总动能是
:<math>T = \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{2} m_i \dot x_i{}^2</math>
也可以写为
:<math>T=\frac{1}{2} \dot q^\mathrm{T} M \dot q</math>
其中
:<math>M=\begin{bmatrix}m_1&0\\0 & m_2\end{bmatrix}</math>

===N体系统 ===
更一般地，考虑一个N个粒子的系统，记标号分别为''i''=1, 2, ..., ''N''，其中粒子 ''i'' 的位置是''N<sub>i</sub>''个自由直角坐标（其中''N<sub>i</sub>''是1，2，或3）。令''q''是由坐标形成的列向量。质量矩阵''M''是[[对角块矩阵]]，每个块中的对角元素是对应的粒子的质量:<ref name=Hand/>
:<math>M = \mathrm{diag}[ m_1 I_{n_1}, m_2 I_{n_2}, \cdots, m_N I_{n_N} ] </math>

其中 '''I'''<sub>''n i''</sub> 是 ''n<sub>i</sub>'' × ''n<sub>i</sub>'' [[单位阵]]，更具体地:

<math>
M = \begin{bmatrix}
m_1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & m_1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & m_2 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & m_2 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & m_N & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & m_N\\
\end{bmatrix}
</math>

=== 转动系统 ===

[[File:Mass matrix rotating dumbbell.svg|thumb|旋转的哑铃型系统.]]

考虑两个点状的物体，质量分别为''m''<sub>1</sub>，''m''<sub>2</sub>，连接到一个长度为2''R''的刚性无质量棒的两端。该组件可以自由旋转且在一个固定的平面上。该系统的状态可以由广义坐标向量描述如下：
:<math>q=[ x, y, \alpha]</math> 
其中 ''x'', ''y'' 是以棒中点为原点的直角坐标系，角度 ''α'' 是棒转动的角度。两个粒子的位置和速度是：
:<math>
  \begin{array}{ll} 
    p_1 = (x,y) + R(\cos\alpha, \sin\alpha) & v_1 = (\dot x,\dot y) + R\dot \alpha(-\sin\alpha, \cos\alpha) \\
    p_2 = (x,y) - R(\cos\alpha, \sin\alpha) & v_2 = (\dot x,\dot y) - R\dot \alpha(-\sin\alpha, \cos\alpha)
  \end{array}
</math>
它们的总动能是:
:<math>T = m\dot x^2 + m\dot y^2 + mR^2\dot\alpha^2 + 2R d \cos\alpha \dot x \dot \alpha + 2R d  \sin\alpha \dot y \dot \alpha</math>
其中<math>m  = m_1 + m_2</math> ， <math>d = m_1 - m_2</math>。  这个公式写成矩阵形式为：
:<math>T=\frac{1}{2} \dot q^\mathrm{T} M \dot q</math>
其中
:<math>M=\begin{bmatrix}m&0&R d \cos\alpha\\0 & m & R d \sin\alpha \\ R d \cos\alpha & R d \sin\alpha & R^2 m\end{bmatrix}</math>
这里矩阵依赖于棒的当前角度''α''。

对於[[连续介质力学]]的离散近似，如在[[有限元分析]]中，有多种方法可以构造质量方程，这取决於所期望的计算和精度性能。例如，利用忽略每一有限元变形的集中质量法可以构建一个对角质量矩阵并且不需要通过变形元来累积质量。

==参考文献==
<references>

<ref name=Riley>
  Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
</ref>

<ref name=Hand>
  Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0
</ref>

</references>

== 参见 ==
* [[刚度矩阵]]
* [[惯性力矩]]
* [[应力-能量张量]]



[[Category:计算科学]]
[[Category:矩阵]]