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{{NoteTA
|G1=Physics
}}
'''费米-狄拉克统计'''（{{lang-en|'''Fermi–Dirac statistics'''}}），简称'''费米统计'''或''' FD 统计'''，是[[统计力学]]中描述由大量满足[[泡利不相容原理]]的[[费米子]]组成的系统中粒子分处不同[[量子态]]的统计规律。该统计规律的命名源于[[恩里科·费米]]和[[保罗·狄拉克]]，他们分别独立地发现了该统计律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。<ref name='Fermi1926'>{{cite journal| title=Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico| journal=Rendiconti Lincei| language=it| year=1926| first=Enrico| last=Fermi| volume=3| issue=| pages=145–9}}, translated as {{cite arxiv| title=On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas| eprint=cond-mat/9912229 | date=1999-12-14| last1=Zannoni |first1=Alberto (transl.) | class=cond-mat.stat-mech }}</ref><ref name='Dirac1926'>{{cite journal| title=On the Theory of Quantum Mechanics| journal=Proceedings of the Royal Society, Series A| year=1926| first=Paul A. M.| last=Dirac| coauthors=| volume=112| issue=762| pages=661–77| jstor=94692|accessdate=| doi=10.1098/rspa.1926.0133 |bibcode = 1926RSPSA.112..661D }}</ref>

费米–狄拉克统计的适用对象是热平衡的[[费米子]] ([[自旋量子数]]为半奇数的粒子)。此外，应用此统计规律的前提是系统中各粒子间[[相互作用]]可忽略不计。如此便可用粒子在不同[[定态]]的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处不同能态，这点对系统许多性质会产生影响。自旋量子数为 1/2 的[[电子]]是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了[[量子力学]]的一些原理。

== 概述 ==
{|class="wikitable" border=1 align=right
|+ '''服从F-D统计的两个粒子在三重简并态下的分布'''
!!状态1!!状态2!!状态3
|-
|A||A|| 
|-
| ||A||A
|-
|A|| ||A
|}
根据[[量子力学]]，费米子为[[自旋量子数|自旋]]为半奇数的粒子，其本征[[波函数]]反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布<math>\left\{ n_j \right\}</math>（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为<math>\left\{ \epsilon_j \right\}</math>的能级上同时有<math>n_j</math>个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：
:<math>
\Omega_j=\frac{g_j!}{n_j!(g_j-n_j)!}
</math>

费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：
:<math>
\left\{ n_j^{FD} \right\}=\frac{g_j e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}{1 + e^\alpha e^{\beta\epsilon_j}}
</math>

由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的[[麦克斯韦-玻尔兹曼统计]]。此外，对于[[玻色子]]，也有对应的[[玻色-爱因斯坦统计]]予以处理。

== 历史 ==
1926年发现费米–狄拉克统计之前，要理解电子的某些性质尚较为困难。例如，在[[常温]]下，未施加电流的[[金属]]内部的[[热容]]比施加电流的金属少了大约100倍。此外，在常温下给金属施加一强电场，将造成[[场致电子发射]]（{{lang|en|Field electron emission}}）现象，从而产生电流流经金属。研究发现，这个电流与温度几乎无关。当时的理论难以解释这个现象。<ref name='Kittel1971Cel249'>{{cite book | last = Kittel | first=Charles | title = Introduction to Solid State Physics| edition=4th| publisher=John Wiley & Sons| year=1971| ref=harv|location=New York| oclc=300039591 | isbn = 0-471-14286-7 |page=249-250}}</ref>

当时，由于人们主要根据的是经典静电学理论，因此在诸如金属电子理论等方面遇到的困难，无法得到令人满意的解答。他们认为，金属中所有电子都是等效的。也就是说，金属中的每个电子都以相同的程度对金属的热量做出贡献（这个量是[[波尔兹曼常数]]的一次项）。上述问题一直困扰着科学家，直到费米–狄拉克统计的发现，才得到较好地解释。

1926年，恩里科·费米、保罗·狄拉克各自独立地在发表了有关这一统计规律的两篇学术论文。<ref name='Fermi1926'/><ref name='Dirac1926'/>另有来源显示，P·乔丹（{{lang|en|Pascual Jordan}}）在1925年也对这项统计规律进行了研究，他称之为“泡利统计”，不过他并未及时地发表他的研究成果。<ref name='Science-Week2000'>{{cite journal| title=History of Science: The Puzzle of the Bohr–Heisenberg Copenhagen Meeting| journal=Science-Week| date=2000-05-19| first=| last=| coauthors=| volume=4| issue=20| pages=| url=http://scienceweek.com/2000/sw000519.htm| oclc=43626035| location=Chicago| accessdate=2009-01-20| author=| archive-url=https://web.archive.org/web/20090411105016/http://scienceweek.com/2000/sw000519.htm#| archive-date=2009-04-11| dead-url=yes}}</ref>狄拉克称此项研究是费米完成的，他称之为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。

1926年，[[拉尔夫·福勒]]在描述[[恒星]]向[[白矮星]]的转变过程中，首次应用了费米–狄拉克统计的原理。<ref name='Fowler1926'>{{cite journal| title=On dense matter| journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society| first=Ralph H.| last=Fowler| volume=87| pages=114–22| bibcode=1926MNRAS..87..114F |date=December 1926}}</ref>1927年，[[阿诺·索末菲]]将费米–狄拉克统计应用到他对于金属电子的研究中。<ref name='sommerfeld1927'>{{cite journal| title=Zur Elektronentheorie der Metalle| journal=Naturwissenschaften| date=1927-10-14| first=Arnold| last=Sommerfeld| volume=15| issue=41| pages=824–32| doi=10.1007/BF01505083|bibcode = 1927NW.....15..825S }}</ref>1928年，福勒和L·W·诺德汉（{{lang|en|Lothar Wolfgang Nordheim}}）在场致电子发射的研究中，也采用了这一统计规律。<ref name='Fowler1928'>{{cite journal| title=Electron Emission in Intense Electric Fields| journal=Proceedings of the Royal Society A| date=1928-05-01| first=Ralph H.| last=Fowler| first2=Lothar W.| last2=Nordheim| volume=119| issue=781| pages=173–81| doi=10.1098/rspa.1928.0091| jstor=95023| url=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/119/781/173.full.pdf| format=PDF |bibcode = 1928RSPSA.119..173F }}</ref>直至今日，费米–狄拉克统计仍然是物理学的一个重要部分。

== 费米–狄拉克分布 ==
根据费米–狄拉克分布，给定费米子组成的系统中处于量子态<math>i</math>上的平均粒子数可以通过下面的式子计算：<ref name='Reif1965dist341'>{{cite book | last = Reif | first = F. | coauthors = | title = Fundamentals of Statistical and Thermal Physics| publisher = McGraw–Hill | year = 1965 | ref=harv| pages = | url = | doi = | isbn =978-0-07-051800-1|page=341}}</ref>

:<math> \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} </math>

其中<math>k</math>是[[波尔兹曼常数]]，<math>T</math>为绝对温度（[[热力学温标]]），<math>\epsilon_i \ </math>为量子态<math>i</math>上单个粒子的能量，<math>\mu\ </math>是[[化学势]]。当<math>T = 0 K</math>时，化学势就是系统的[[费米能]]。[[半导体]]中电子的费米能，也被被称为费米能级。<ref name=Blakemore2002p11>{{cite book | last = Blakemore | first = J. S. | coauthors = | title = Semiconductor Statistics | publisher = Dover | year = 2002 | ref=harv| page =11| url = http://books.google.com/?id=cc4HE2YM1FIC&pg=front| doi = | isbn = 978-0-486-49502-6 }}</ref><ref name=KittelKroemer1980>{{cite book | last=Kittel| first=Charles| first2=Herbert| last2=Kroemer| title=Thermal Physics| edition=2nd| publisher=W. H. Freeman| year=1980| location=San Francisco| pages=357| url=http://books.google.com/?id=c0R79nyOoNMC&pg=PA357| isbn=978-0-7167-1088-2}}</ref>

要应用费米–狄拉克统计，系统必须满足一定的条件：系统的费米子数量必须足够大，以至于再加入一个费米子所引起化学势<math>\mu\ </math>的变化可以忽略不计。<ref name='Reif1965dist'>{{cite book | last = Reif | first = F. | coauthors = | title = Fundamentals of Statistical and Thermal Physics| publisher = McGraw–Hill | year = 1965 | ref=harv| pages = | url = | doi = | isbn =978-0-07-051800-1|page=340–2}}</ref>由于费米–狄拉克统计的推导过程中利用了[[泡利不相容原理]]，即单个量子态上最多能有一个粒子，这样的结果就是某个量子态上的平均量子数满足<math>0 < \bar{n}_i < 1</math>。<ref>值得注意的是<math> \bar{n}_i </math>同时也是量子态<math>i</math>被粒子占据的概率，由于一个量子态最多同时被一个粒子占据因此有<math>0 < \bar{n}_i  < 1</math>。</ref> 

<center> <gallery Caption="费米–狄拉克分布" widths="400px" heights="300px">
Image:FD e mu.svg|'''平均粒子数和能量的关系'''，当温度<math>T</math>较高时，平均粒子数<math>\bar{n}_i</math>的变化更加平缓。当<math> \epsilon = \mu</math>，<math> \bar{n}=0.5</math>。不过，图中未能展现，当温度<math>T</math>更高时，<math>\mu</math>会下降。<ref name='Kittel1971dist245'>{{cite book | last = Kittel | first=Charles | title = Introduction to Solid State Physics| edition=4th| publisher=John Wiley & Sons| year=1971| ref=harv|location=New York| oclc=300039591 | isbn = 0-471-14286-7 |page=245, Figs. 4 and 5}}</ref> <br /> <center>
Image:FD kT e.svg|<center>'''平均粒子数和温度的关系'''（当<math> \epsilon > \mu</math>）</center>
</gallery><small>（点击图片可以获得完整尺寸）</small></center>

=== 粒子的能量分布 ===
[[File:fermi.gif|thumb|300px|right|当<math>\mu = 0.55 eV</math>，温度在50[[开尔文]]与375开尔文之间取离散值时，费米函数 <math>F (\epsilon) \ </math> 和能量值<math>\epsilon \ </math>之间的关系曲线。]]
前面的章节叙述了给定费米子系统在不同量子态上的分布，一个量子态上最多只能具有一个费米子。利用费米–狄拉克统计，还可以获得费米子系统不同能量值上的分布情况，这与分析量子态的原理略有不同，因为可能出现多个定态具有同一能量值，即出现所谓的简并能量态情况。

将费米–狄拉克统计中某个量子态上的平均粒子数<math> \bar{n}_i \ </math>与[[简并|简并度]]<math> g_i \ </math>（即能量值为<math>\epsilon_i \ </math>的量子态数）相乘，就可以得到能量为<math>\epsilon_i \ </math>的平均费米子数。<ref name='Leighton1959'>{{cite book | last=Leighton| first=Robert B.| coauthors = | title=Principles of Modern Physics| publisher=McGraw-Hill| year=1959 | pages=340| isbn=978-0-07-037130-9 }}<br /> 
Note that in Eq. (1), <math>n(\epsilon) \,</math> and <math> n_s \,</math> correspond respectively to <math>\bar{n}_i </math> and <math> \bar{n}(\epsilon_i) </math> in this article. See also Eq. (32) on p. 339.</ref>

:<math> \begin{alignat}{2}
 \bar{n}(\epsilon_i) & = g_i \ \bar{n}_i \\
   & = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} \\ 
\end{alignat} </math>

当<math> g_i \ge 2 \ </math>时，可能出现<math>\ \bar{n}(\epsilon_i) > 1 </math>。导致这个现象的原因前面提到过，即具有同一个能量值的粒子可能处于不同的定态，也就是说完全可能出现多个粒子处于同一能量值<math> \epsilon_i \ </math>。

当一个系统的能量是准连续（{{lang|en|quasi-continuum}}）的，定义其单位体积内单位能量域的量子态数为[[状态密度]]。<ref name='Leighton1959'>{{cite book | last=Leighton| first=Robert B.| coauthors = | title=Principles of Modern Physics| publisher=McGraw-Hill| year=1959 | pages=340| isbn=978-0-07-037130-9 }}<br /> 
Note that in Eq. (1), <math>n(\epsilon) \,</math> and <math> n_s \,</math> correspond respectively to <math>\bar{n}_i </math> and <math> \bar{n}(\epsilon_i) </math> in this article. See also Eq. (32) on p. 339.</ref>，单位能量域的平均费米子数为

:<math> \bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = g(\epsilon) \ F(\epsilon) </math>

这里<math>F(\epsilon) \ </math>被称为费米函数，它与前面用来表达量子态<math> \bar{n}_i </math>上粒子数分布的函数具有相同的形式。<ref name='Reif1965FermiFnc'>{{cite book | last = Reif | first = F. | coauthors = | title = Fundamentals of Statistical and Thermal Physics| publisher = McGraw–Hill | year = 1965 | ref=harv| pages =  | url = | doi = | isbn =978-0-07-051800-1|page=389}}</ref>

:<math> F(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1} </math>

故

:<math> \bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = \frac{g(\epsilon)}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1} </math>

== 量子范畴和经典范畴 ==
如果经典范畴中涉及的位移、动量之间的关系还远未达到[[不确定性原理]]所设定的极限，通常可以采用[[麦克斯韦-玻尔兹曼统计]]来代替费米–狄拉克统计，这样做可以简化数学计算的难度。如果粒子平均间距<math> \bar{R} </math>远大于粒子的平均[[物质波]]波长<math> \bar{\lambda} </math>，就可以采用上述经典范畴的处理方式。<ref name='Reif1965classical'>{{cite book | last = Reif | first = F. | coauthors = | title = Fundamentals of Statistical and Thermal Physics| publisher = McGraw–Hill | year = 1965 | ref=harv| pages = | url = | doi = | isbn =978-0-07-051800-1|page=246–8}}</ref>

:<math>\bar{R} \ \gg \ \bar{\lambda} \ \approx \ \frac{h}{\sqrt{3mkT}} </math>

这里，<big><math>h</math></big>为[[普朗克常数]]，<big><math>m</math></big>为粒子的[[质量]]。

对于常温（约300开尔文）下金属中的电子，由于<math> \bar{R} \approx \bar{\lambda}/25 </math>，因此该系统远离经典范畴。这是因为电子质量较小，并且在金属中聚集程度较高。这样，为了分析金属中的传导电子，必须采用费米–狄拉克统计。<ref name='Reif1965classical' /> 

由恒星演变而来的白矮星，是另一个不属于经典范畴、必须采用费米–狄拉克统计的例子。尽管白矮星的温度很高（其表面温度通常能达到10,000开尔文<ref name='Mukai1997'>{{cite web |url=http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/ask_astro/answers/970512e.html |title=Ask an Astrophysicist |accessdate= |last=Mukai |first=Koji |coauthors=Jim Lochner |year=1997 |work=NASA's Imagine the Universe |publisher=NASA Goddard Space Flight Center |archiveurl=https://www.webcitation.org/5dxyeNTKh?url=http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/ask_astro/answers/970512e.html |archivedate=2009-01-20 |deadurl=yes }}</ref>），但是它内部高度聚集的电子和每个电子的低质量，使得处理这问题必须采用费米–狄拉克统计，而不能用经典的波尔兹曼统计近似处理。<ref name='Fowler1926' />

== 参考文献 ==
{{reflist|2}}

== 相关条目 ==
* [[量子统计]]
* [[盒中氣體]]
* [[費米氣體]]
* [[白矮星]]
* [[中子星]]
* [[全同粒子]]
* [[馬克士威-玻茲曼統計]]

{{统计力学}}
{{Statistical mechanics topics}}

[[Category:粒子统计学]]