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'''赫爾維茨多項式'''（'''Hurwitz polynomial'''）得名自德國數學家[[阿道夫·赫維茲]]，是一種特殊的[[多項式]]，其[[係數]]為正值，而且其[[根 (數學)|根]]解都在[[複數]]平面的左半邊或是在虛軸上，也就是根的實部均為負數或是零<ref name="Kuo">{{cite book   
  | last = Kuo
  | first = Franklin F.
  | authorlink = 
  | coauthors = 
  | title = Network Analysis and Synthesis, 2nd Ed.
  | publisher = John Wiley & Sons
  | date = 1966
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  | pages = 295–296
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  | doi = 
  | id = 
  | isbn = 0471511188}}</ref>。有時此一用語會將多項式根的實部限制為只允許負值，也就是解不能在虛軸上（赫爾維茨[[穩定多項式]]）<ref name=" Weisstein">{{cite web
  | last =  Weisstein
  | first = Eric W
  | title = Hurwitz polynomial
  | work = Wolfram Mathworld
  | publisher = Wolfram Research
  | date = 1999
  | url = http://mathworld.wolfram.com/HurwitzPolynomial.html
  | doi = 
  | accessdate = July 3, 2013}}</ref><ref name="Reddy">{{cite conference
  | first = Hari C.
  | last = Reddy
  | title = Theory of two-dimensional Hurwitz polynomials
  | booktitle = The Circuits and Filters Handbook, 2nd Ed.
  | pages = 260–263
  | publisher = CRC Press
  | date = 2002
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  | url = http://books.google.com/books?id=SmDImt1zHXkC&pg=PA262&dq=hurwitz+polynomial
  | doi = 
  | isbn = 1420041401
  | accessdate = July 3, 2013}}</ref>。

若以下二個條件皆成立，[[複數|複變數]]''s'' 的多項式''P''(''s'')為赫尔维茨多項式：
:1. 若''s''為實數，則''P''(''s'')為實數。
:2. ''P''(''s'')根的實部均為零或負值。

赫爾維茨多項式在[[控制系統|控制系統理論]]中非常重要，其表示穩定線性[[非時變系統]]的[[特徵多項式]]。多項式是否赫爾維茨多項式可以直接求解方程式，或是用[[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]求得。

==例子==

以下是一個簡單的赫爾維茨多項式。

:<math>x^2 + 2x + 1.</math>

其唯一的實根&minus;1，其因式為

:<math>(x+1)^2.</math>

== 性質 ==

對於赫爾維茨多項式，係數均為正值只是必要條件，不是充份條件。赫爾維茨多項式的充份必要條件是通過[[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]。利用其稳定性判据可以有效的判斷是否是赫尔维茨多項式。

赫爾維茨多項式的性質有：

#所有的[[極點 (複分析)|極點]]及[[零點]]都在左半平面或是虛軸上。
#所有虛軸上的極點及零點均不為重根或重極點。
#所有虛軸的極點及零點都只有嚴格的正留數，函數有實部嚴格為正值的導數。
#在右半平面，PR函數實部的最小值出現在虛軸（因為解析函數的實部會組成平面上的[[调和函数]]，滿足最大定理。
#多項式沒有漏掉s的任何一個次方。

== 參考資料 ==
{{reflist}}
* Wayne H. Chen (1964) ''Linear Network Design and Synthesis'', page 63, [[McGraw Hill]].

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[[Category:多項式]]