查看“超几何函数”的源代码

{{otheruses|subject='''高斯超几何函数''' <sub>2</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub>|other=超几何函数 <sub>{{mvar|p}}</sub>{{mvar|F}}<sub>{{mvar|q}}</sub>|广义超几何函数}}
在数学中，'''高斯超几何函数'''或'''普通超几何函数'''2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个{{link-en|正则奇点|Regular singular point}}的二阶[[线性]][[常微分方程]]的解都可以用超几何函数表示。

==超几何级数==
当<math>c</math>不是0,-1,-2...时，对于|''z''|&nbsp;<&nbsp;1，超几何函数可用如下[[幂级数]]定义

<math>\,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!}</math>

其中 <math>\ x^{(n)}</math> 是[[遞進階乘]]，定义为:

:<math>q^{(n)} = \left\{
 \begin{array}{ll}
  1                     & \mbox{if } n = 0 \\
  q(q+1) \cdots (q+n-1) & \mbox{if } n > 0
 \end{array}
\right. </math>

当''a''或''b''是''0''或负整数时级数只有有限项。 

对于满足|''z''|&nbsp;≥&nbsp;1 的复数''z''，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点''0''和''1''的任意路径做解析延拓来得到。

==特殊情形==
很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

:<math>\ln(1+z)= z\,_2F_1(1,1;2;-z)</math>.
:<math>
(1-z)^{-a}  = \,_2F_1(a,1;1;z)
</math>
:<math>
\arcsin z = z \,_2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)
</math>
[[合流超几何函数]]（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下
:<math>M(a,c,z) = \lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)</math>
因此，所有合流超几何函数的特例，例如[[贝塞尔函数]]都可以表示成超几何函数的极限。

[[勒让德函数]]是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

<math>{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)</math>

很多多项式，例如[[贾可比多项式]] ''P''{{su|p=(&alpha;,&beta;)|b=''n''}}及其特殊情形[[勒让德多项式]], [[车比雪夫多项式]], [[Gegenbauer多项式]]都能用超几何函数表示

<math>{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x)</math>
其它特殊情形还包括[[Krawtchouk多项式]], [[Meixner多项式]], [[Meixner–Pollaczek多项式]]。

{{link-en|椭圆模函数|Elliptic modular function}}有时能表示成参数''a'', ''b'', ''c''是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若
:<math> \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}</math>
则
:<math> z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}</math>
是''τ''的椭圆模函数.

[[不完整的beta函数]] ''B''<sub>''x''</sub>(''p'',''q'') 表示成
:<math> B_x(p,q) = \frac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x)</math>

完整的椭圆积分 ''K'' 和 ''E'' 如下给出
:<math>K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)</math>

:<math>E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)</math>

==超几何方程==
超几何函数满足的微分方程称为'''超几何方程'''，其形式为（参见[[广义超几何函数#超几何函数的性质|广义超几何函数]])
::<math>z\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a\right)\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + c-1\right)w,\quad w(z)={}_2F_1(a,b;c;z)</math>.

展开后，得
:<math>z(1-z)\frac {\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\mathrm dw}{\mathrm dz} - abw = 0.</math>

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

=== 正则奇点 0 附近的解 ===
超几何方程的{{link-en|弗罗贝尼乌斯方法|Frobenius method|指标方程}}为
:<math>\rho(\rho-1)+c\rho=0</math>

它的两个指标 {{mvar|ρ}} 是 0 和 1-{{mvar|c}}。

当 {{mvar|c}}不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：
:<math> \, _2F_1(a,b;c;z) \text{ and } z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)</math>

当 {{mvar|c}} 为 1 时，方程只有一个正则解。当 {{mvar|c}} 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 {{mvar|c}} 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 [[Meijer G-函数|Meijer {{mvar|G}}-函数]]：
:<math> \, _2F_1(a,b;c;z) \text{ and } \, G^{2,0}_{2,2}(1-a,1-b;0,c-1;z), \text{ if } c\in\mathbb Z^+</math>
:<math> \, z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z) \text{ and } \, G^{2,0}_{2,2}(1-a,1-b;0,1-c;z), \text{ if } c\in\mathbb Z_0^-</math>

=== 正则奇点 1 附近的解 ===
只需作代换 {{mvar|t}}=1-{{mvar|z}}，方程变为：
:<math>t(1-t)\frac {d^2w}{dt^2} + \left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right] \frac {dw}{dt} - abw = 0.</math>

当 {{mvar|a+b-c}} 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：
:<math> \, _2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z) \text{ and } (1-z)^{c-a-b} \, _2F_1(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)</math>

=== 正则奇点 ∞ 附近的解 ===
当 {{mvar|a-b}} 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：
:<math> z^{-a}\, _2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right) \text{ and } z^{-b}\, _2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ).</math>

=== 李代数参数与连接关系 ===
在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数<ref>{{cite arXiv|last=Dereziński|first=Jan|title=Hypergeometric type functions and their symmetries|eprint=1305.3113}}</ref>会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

:<math>F_{\alpha,\beta,\mu}(z)={}_2F_1(a,b;c;z)</math>
:<math>\alpha=c-1,\beta=a+b-c,\mu=b-a</math>
:<math>a=\frac{1+\alpha+\beta-\mu}2,b=\frac{1+\alpha+\beta+\mu}2,c=1+\alpha</math>

参数 {{mvar|α,β,γ}} 称为[[李代数]]参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：
:<math>\text{At }0: F_{\alpha,\beta,\mu}(z) \text{ and } z^{-\alpha}F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)</math>
:<math>\text{At }1: F_{\beta,\alpha,\mu}(1-z) \text{ and } (1-z)^{-\beta}F_{-\beta,\alpha,-\mu}(1-z)</math>
:<math>\text{At }\infty: (-z)^{\frac{-1-\alpha-\beta+\mu}2}F_{-\mu,\beta,-\alpha}(z^{-1}) \text{ and } (-z)^{\frac{-1-\alpha-\beta-\mu}2}F_{\mu,\beta,\alpha}(z^{-1})</math>

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 {{mvar|a,b,c}} 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：
:<math>G(m;n,p)=\frac{\pi}{\sin m\pi\Gamma(n)\Gamma(p)}=G(m;p,n)</math>
:<math>\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=\frac 1{\Gamma(1+\alpha)}F_{\alpha,\beta,\mu}(z)</math>

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：
:<math>\mathbf F_{\beta,\alpha,\mu}(1-z)=
G(-\alpha;a-\alpha,b-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;a,b)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z),</math>
:<math>\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta}\mathbf F_{-\beta,\alpha,-\mu}(1-z)&=&
G(-\alpha;1-a,1-b)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;b-\beta,a-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)\\
&=&G(-\alpha;1-a,1-b)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;1-(a-\alpha),1-(b-\alpha))z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z);
\end{array}</math>

:<math>(-z)^{-a}\mathbf F_{-\mu,\beta,-\alpha}(z^{-1})=
G(-\alpha;1-b,a-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;a,a-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z),</math>
:<math>\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf F_{\mu,\beta,\alpha}(z^{-1})&=&
G(-\alpha;1-a,b-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;b,b-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)\\
&=&G(-\alpha;1-a,1-(a-\beta))\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)
+G(\alpha;b,1-(a-\alpha))z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z).\end{array}</math>

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

== 积分表示 ==
:<math>\Beta(a,c-a){}_2F_1(a,b;c;z)=\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0, |\arg(1-z)|<\pi</math>
式中的 Β 是[[beta函数]]。

=== 证明 ===
可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 {{mvar|z}}=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设
:<math>p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^2p(a,b,c;t,z);</math>

则
:<math>\frac{\partial w}{\partial z}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)</math>
:<math>\begin{array}{cl}
&z(1-z)\frac {\partial^2w}{\partial z^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\partial w}{\partial z} - abw\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^2\right\}\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^2+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\
=&b\frac{\partial}{\partial t}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],
\end{array}</math>

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的[[多项式]]乘积得到。上式两边分别对 {{mvar|t}} 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用[[二项式定理]]，积分表达式等号右边的部分可以按 {{mvar|z}} 展开成幂级数，故可知等号右边应取 {{mvar|C}} <sub>2</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub>{{mvar|(a,b,c;z)}} 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 {{mvar|C}} 为待定的常数。

对比积分表达式在 {{mvar|z}}=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 {{mvar|C}}。
<!--
:<math>\begin{array}{cl}&\left.\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm dt\right|_{z=0}\\
=&\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}\mathrm dt\\
=&-\int_0^1 u^c\left(\frac{1-u}u\right)^{c-a-1}(-u^{-2})\mathrm du,\quad u=t^{-1}\\
=&\Beta(a,c-a),
\end{array}
-->

== 变换公式 ==
=== 分式线性变换 ===
==== Pfaff 变换 ====
Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 {{mvar|β}} 与 {{mvar|μ}} 对换）：
:<math>{}_2F_1(a,b;c;z)  =(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1}),\quad |\arg(1-z)|<\pi</math>

由 {{mvar|a,b}} 的对称性自然有：
:<math>{}_2F_1(a,b;c;z)  =(1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1}),\quad |\arg(1-z)|<\pi</math>

===== 证明 =====
Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令
:<math>u=\tfrac z{z-1}=1+\tfrac1{z-1}</math>

则
:<math>z=\tfrac u{u-1},\quad (1-z)^a=(1-u)^{-a},\quad \tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=-(1-u)^2
,\quad \tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-(1-u)^3</math>

:<math>\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-b}w]
+ \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-b}w] - ab(1-z)^{-b}w\\
=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][b+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a-b+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+b(c-a)\right\}w\\
=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+2u\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+b(c-a)\right\}w\\
=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[c-(c-a+b+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-b(c-a)\right\}w
\end{array}</math>

取
:<math>w={}_2F_1(c-a,b;c;u)</math>

由 {{mvar|w}}({{mvar|u}}) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-{{mvar|z}})<sup>{{mvar|-b}}</sup>{{mvar|w(z)}} 在 {{mvar|z}}=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

==== Euler 变换 ====
Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 {{mvar|β}} 变成 -{{mvar|β}}：
:<math>\begin{array}{rcl}{}_2F_1(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \frac{z}{z-1})\\
&=&(1-z)^{-b}\left(1-\frac z{z-1}\right)^{a-c} \, {}_2F_1\left(c-a,c-b;c;\frac{\frac z{z-1}}{\frac z{z-1}-1}\right)\\
&=&(1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi
\end{array}
</math>

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见[[莫比乌斯变换]]。

将[[#李代数参数与连接关系|上面]]提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数({{mvar|α}},{{mvar|β}},{{mvar|μ}})，({{mvar|±α}},{{mvar|±β}},{{mvar|±μ}}) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（{{mvar|F}}<sub>{{mvar|α}},{{mvar|β}},{{mvar|μ}}</sub> 恒等于 {{mvar|F}}<sub>{{mvar|α}},{{mvar|β}},{{mvar|-μ}}</sub>），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：
:<math>F_{\alpha,\beta,\mu}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,\mu,\beta}
\equiv F_{\alpha,\mu,-\beta}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,-\beta,\mu}</math>

=== 二次变换 ===
下面是一个二次变换的例子：
:<math>{}_2F_1(a,b;2a;z)=(1-z)^{-\tfrac b2}\,_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;\tfrac {z^2}{4z-4}),\quad |\arg(1-z)|<\pi</math>

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

==== 证明 ====
仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：
:<math>\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-\tfrac b2}w]
+ \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-\tfrac b2}w] - ab(1-z)^{-\tfrac b2}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z[\tfrac b2(\tfrac b2+1)+b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][\tfrac b2+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\
\end{array}</math>

令
:<math>c=2a,\quad u=\tfrac {z^2}{4z-4}=\tfrac14 (z+1-\tfrac 1{1-z})</math>

则
:<math> 1-u=\tfrac{(z-2)^2}{4(1-z)},\quad\tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=\tfrac{z(z-2)}{4(1-z)^2},\quad
\tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-\tfrac{1}{2(1-z)^3}</math>

:<math>\begin{array}{cl}&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\\
=&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[2a-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&\tfrac{z^3(z-2)^2}{16(1-z)^2}\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}-\tfrac z{2(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
+\tfrac{z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&-z\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[a+\tfrac12-(a+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-\tfrac b2(a-\tfrac b2)\right\}
\end{array}</math>

取
:<math>w=\,{}_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;u)</math>

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

==== 其它例子 ====
运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为
:<math>F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=f(z)F_{\alpha',\beta',\mu'}(g(z)),\quad P(z)</math>

其中 {{mvar|f}}({{mvar|z}}),{{mvar|g}}({{mvar|z}}) 是 {{mvar|z}} 的函数， {{mvar|P}}({{mvar|z}}) 表示 {{mvar|z}} 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。
{| class="wikitable"
|-
! 李代数参数（左） !! 李代数参数（右） !! <math>f(z)</math> !! <math>g(z)</math> !! <math>P(z)</math>
|-
| <math>\alpha,\mu,\mu</math> || <math>\tfrac\alpha2,\mu,\tfrac12</math> || <math>(1-\tfrac12z)^{-b}</math> || <math>\left(\tfrac{z}{2-z}\right)^2</math> || <math>|\arg(1-z)|<\pi</math>
|-
| <math>\mu,\beta,\mu</math> || <math>\mu,\tfrac\beta2,\tfrac12</math> || <math>(1+z)^{-b}</math> || <math>\tfrac{4z}{(1+z)^2}</math> || <math>|z|<1</math>
|-
| <math>\alpha,\alpha,\mu</math> || <math>\alpha,\tfrac\mu2,\tfrac12</math> || <math>(1-2z)^{-b}</math> || <math>\tfrac{4z(z-1)}{(1-2z)^2}</math> || <math>\Re z<\tfrac12</math>
|}

另外还有：
:<math>\tfrac{2\Gamma(\tfrac 12)\Gamma(\tfrac{a+b+1}2)}{\Gamma(\tfrac{a+1}2)\Gamma(\tfrac{b+1}2)}F_{-\tfrac12,\beta,\tfrac\mu2}(z)=
F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12-\tfrac12\sqrt z\right)+F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12+\tfrac12\sqrt z\right),\quad 
|\arg z|<\pi,|\arg (1-z)|<\pi</math>

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

=== 三次及高次变换 ===
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见{{harvtxt|Goursat|1881}}。

== 特殊值 ==
=== {{mvar|z}}=0 ===
:<math>{}_2F_1(a,b;c;0)=1</math>
=== {{mvar|z}}=1 ===
:<math>{}_2F_1(a,b;c;1)=\tfrac{\Beta(a,c-a-b)}{\Beta(a,c-a)}=\tfrac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},
\quad \Re(c)>\Re(a+b)</math>
这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的[[#积分表示|积分表示]]得到。[[范德蒙恒等式]]是它的特殊情形。
=== {{mvar|z}}=-1 ===
:<math>{}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)}</math>
这可以通过组合[[#其他例子|上表]]中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 {{mvar|z}}=1 时的特殊值得到。
=== {{mvar|z}}=1/2 ===
:<math>_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}. </math>

:<math>_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.</math>

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 {{mvar|z}}=1 时的特殊值得到。

==参考文献==
* {{springer|title=Hypergeometric function|id=p/h048450}}
* John Pearson, [http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf Computation of Hypergeometric Functions] ([[University of Oxford]], MSc Thesis)
* Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, [https://web.archive.org/web/20060129095451/http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html The book "A = B"] (freely downloadable)
* {{MathWorld |title=Hypergeometric Function |urlname= HypergeometricFunction}}
* {{dlmf|id=15|first1=A. B.|last1=Olde Daalhuis|title=Hypergeometric Function}}
* {{cite journal | last= Goursat | first= Édouard | title= Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique | language= fr | url= http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1881_2_10__S3_0 | accessdate= 2008-10-16 | journal= Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure| volume= 10 | year= 1881 | pages= 3–142 | ref= harv}}

{{DEFAULTSORT:Hypergeometric Function}}
[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:超幾何函數| ]]
[[Category:常微分方程]]
[[Category:级数]]