查看“超实数 (非标准分析)”的源代码

{{Expand|time=2013-02-14T04:20:29+00:00 }}
[[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|超实数轴上的无穷小（ε）和无穷大（ω）（1/ε=ω/1）]]
{{Numbers}}
'''超實數'''系統是為了嚴格處理無窮量（[[無窮大|無窮大量]]和[[無窮小量]]）而提出的。自從[[微積分]]的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括[[牛頓]]和[[萊布尼茲]]在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為'''非標準實數'''集，記爲<math>^{*}\mathbb{R}</math>，是實數集 <math>\mathbb{R}</math> 的一個[[域擴張|擴張]]；其中含有一種數，它們大於所有如下形式的數：
:<math>1 + 1 + \cdots + 1</math>（[[有限]]個）

這可以解釋為'''無窮大'''；而它們的倒數就作為'''無窮小量'''。<math>^{*}\mathbb{R}</math> 滿足如下性質：任何關於 <math>\mathbb{R}</math> 的[[一階邏輯|一階命題]]如果成立，則對 <math>^{*}\mathbb{R}</math> 也成立。這種性質稱為{{tsl|en|Transfer principle|傳達原理}}。舉例來說，實數集的加法[[交換律]]
:<math>\forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = y + x</math>

是關於 <math>\mathbb{R}</math> 的一階命題。因此以下命題同樣成立：
:<math>\forall x, y \in ^{*}\mathbb{R}, x + y = y + x</math>

也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。

無窮小量的概念是否嚴格呢？此問題可以追溯到古希臘數學：數學家們如[[歐幾里得]]、[[阿基米德]]等，為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證[[可靠性定理|嚴格性]]，而采用了[[窮竭法]]等其它說明方式<ref>Ball, p. 31</ref>。而[[亞伯拉罕·魯濱遜]]在1960年代證明了，
{{quote|超實數系統是相容的，當且僅當實數系統是相容的}}
換句話說，如果對實數的使用没有懷疑，那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用，通稱為[[非標準分析]]。

== 参考资料 ==
{{reflist}}
* {{cite book | last = Ball | first = W.W. Rouse | authorlink = :en:W. W. Rouse Ball | title = A Short Account of the History of Mathematics | origyear = | url = | edition = 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] | year = 1960 | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-20630-0 | pages = 50–62 }}

[[Category:数]]
[[Category:无穷]]