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[[數學]]上，'''超極限'''是幾何的構造法，對一個[[度量空間]]序列''X<sub>n</sub>''指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的[[格羅莫夫－豪斯多夫度量|格羅莫夫－豪斯多夫收斂]]。

==超濾子==
在自然數集<math>\mathbb{N}</math>上的[[超濾子]]''&omega;''，是一個有限可加的集合函數（可視為有限可加[[測度]]）<math>\omega:2^{\mathbb N}\to \{0,1\}</math>，從自然數集的[[冪集]]<math>2^{\mathbb N}</math>映射到集合{0,1}上，使得<math>\omega(\mathbb N)=1</math>。一個在<math>\mathbb N </math>上的超濾子''&omega;'' 稱為'''非主要'''的，若對所有有限子集<math>F\subseteq \mathbb N</math>， 都有''&omega;''(''F'')=0。

==點序列關於一個超濾子的極限==

設''&omega;''是<math>\mathbb N </math>上的非主要超濾子。
若<math>(x_n)_{n\in \mathbb N}</math>是[[度量空間]](''X'',''d'')上的點序列，''x''∈ ''X''，稱''x''是''x''<sub>''n''</sub>的''&omega;'' -'''極限'''，記為<math>x=\lim_\omega x_n</math>，若對所有<math>\epsilon>0</math>都有
:<math>\omega\{n: d(x_n,x)\le \epsilon \}=1.</math>

不難看出：
* 若一個點序列的''&omega;''-極限存在，則是唯一的。
* 若在標準意義下<math>x=\lim_{n\to\infty} x_n </math>，則<math>x=\lim_\omega x_n </math>。（這性質成立，關鍵在超濾子是非主要的。）

若(''X'',''d'')緊緻，則每個點序列都存在''&omega;''-極限。故此，實數的有界序列都存在''&omega;''-極限。

==有基點度量空間的超極限==
設''&omega;''是在<math>\mathbb N </math>上的非主要超濾子。設 (''X''<sub>''n''</sub>,''d''<sub>''n''</sub>) 是度量空間，有基點''p''<sub>''n''</sub>∈''X''<sub>''n''</sub>。

考慮序列<math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>，其中''x''<sub>''n''</sub>∈''X''<sub>''n''</sub>。這個序列稱為容許的，若實數序列(''d''<sub>''n''</sub>(''x<sub>n</sub>'',''p<sub>n</sub>''))<sub>''n''</sub>有界，也就是存在正實數''C''，使得<math> d_n(x_n,p_n)\le C</math>。記容許序列的集合為<math>\mathcal A</math>。

由三角不等式可知對兩個容許序列<math>\mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>及<math>\mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}</math>，序列(''d''<sub>''n''</sub>(''x<sub>n</sub>'',''y<sub>n</sub>''))<sub>''n''</sub>有界，因此存在''&omega;''-極限<math>\hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y):=\lim_\omega d_n(x_n,y_n)</math>。在<math>\mathcal A</math>中定義關係<math>\sim</math>如下：對<math>\mathbf x, \mathbf y\in \mathcal A </math>，每當<math>\hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y)=0</math>時便有 <math>\mathbf x\sim\mathbf y</math>。易知<math>\sim</math> 是[[等價關係]]。

序列(''X''<sub>''n''</sub>,''d''<sub>''n''</sub>, ''p''<sub>''n''</sub>)關於''&omega;''的'''超極限'''是一個度量空間<math>(X_\infty, d_\infty)</math>，定義如下。<ref>John Roe. ''Lectures on Coarse Geometry.'' [[American Mathematical Society]], 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definition 7.19, p. 107.</ref>

作為集合，有<math>X_\infty=\mathcal A/{\sim}</math>。

對兩個容許序列<math>\mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>及<math>\mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}</math>的<math>\sim</math>等價類<math>[\mathbf x], [\mathbf y]</math>，定義<math>d_\infty([\mathbf x], [\mathbf y]):=\hat d_\infty(\mathbf x,\mathbf y)=\lim_\omega d_n(x_n,y_n).</math>

不難看到<math>d_\infty</math>有良好定義，且為 <math>X_\infty</math>上的[[度量]]。

記<math>(X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n, p_n)</math>。

==備註==
{{reflist}}

[[分類:幾何群論]]
[[分類:度量幾何]]