查看“超橢圓”的源代码

[[Image:Superellipse star.svg|thumb|200px|right|''n''&nbsp;=&nbsp;0.5，''a''&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;1的超橢圓]]
[[Image:Superellipse rounded diamond.svg|thumb|200px|right|''n''&nbsp;=&nbsp;1.5，''a''&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;1的超橢圓]]
[[Image:Superellipse chamfered square.svg|thumb|200px|right|''n''&nbsp;=&nbsp;4，''a''&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;1的超橢圓，也稱為方圓形（Squircle）]]

'''超橢圓'''（{{lang|en|'''superellipse'''}}）也稱為'''拉梅曲線'''（'''Lamé curve'''），是在[[笛卡儿坐标系]]下滿足以下方程式的點的集合：
:<math>|\frac{x}{a}|^n\! + |\frac{y}{b}|^n\! = 1</math>

其中''n''、''a''及''b''為正數。

上述方程式的解會是一個在&minus;''a'' ≤ ''x''&nbsp;≤&nbsp;+''a''及&minus;''b''&nbsp;≤&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;+''b''[[長方形]]內的封閉曲線，參數''a''及''b''稱為曲線的'''半直徑'''（'''semi-diameters'''）。

''n''在0和1之間時，超橢圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹<!--，若''n''&nbsp;=&nbsp;1/2時，四角星的四邊是[[拋物線]]-->。

''n''為1時，超橢圓的圖形為一[[菱形]]，四個頂點為（±''a'',&nbsp;0）及（0,&nbsp;±''b''）。''n''在1和2之間時，超橢圓的圖形類似[[菱形]]，四個頂點位置相同，但四邊是往外[[凸集|凸]]的曲線，越接近頂點，曲線的[[曲率]]越大，頂點的曲率趨近無限大。

''n''為2時，超橢圓的圖形即為[[橢圓]]（若''a''&nbsp;=&nbsp;''b''時則為一個[[圓形]]）。當''n''大於2時，超橢圓的圖形看似四角有{{link-en|圓角|Chamfer}}的[[長方形]]，曲線的曲率在（±''a'',&nbsp;0）及（0,&nbsp;±''b''）四點為0。''n''為4的超橢圓也稱為[[方圓形]]。

''n''&nbsp;<&nbsp;2的超橢圓也稱為'''次椭圆'''（'''hypoellipse'''），''n''&nbsp;>&nbsp;2的超橢圓則稱為'''過椭圆'''（'''hyperellipse'''）。

當''n''&nbsp;≥&nbsp;1，且''a''&nbsp;=&nbsp;''b''=1時的超橢圓是二維[[Lp空间|L<sup>p</sup>空间]]下的單位圓，''n''即為其p-範數。

超橢圓的極點為（±''a'',&nbsp;0）及（0,&nbsp;±''b''），而其四個「角」為（±''sa,&nbsp;±sb''），其中 <math>s=2^{-\frac{1}{n}}</math>。

==數學性質==
當''n''為一個非零的有理數''p''/''q''（最簡分數形式），則超橢圓為一平面[[代數曲線]]。若''n''為正數，其曲線次數為''pq''，若''n''為負數，其曲線次數為2''pq''。若''a''和''b''均為1且''n''為偶數，則此超橢圓為一''n''次的{{link-en|費馬曲線|Fermat curve}}，此時超橢圓沒有奇點，但一般而言超橢圓中會有有奇點。<!--If the numerator is not even, then the curve is pasted together from portions of the same algebraic curve in different orientations.-->

[[Image:Lame anima.gif|thumb|300px|right|超橢圓的動畫]]

超橢圓的[[參數方程]]如下：

:<math>\left.
\begin{align} x\left(\theta\right) &= \plusmn a\cos^{\frac{2}{n}} \theta \\ y\left(\theta\right) &= \plusmn b\sin^{\frac{2}{n}} \theta\end{align} \right\} \qquad 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} </math>

或

:<math>
\begin{align}
 x\left(\theta\right) &= {|\cos\theta}|^{\frac{2}{n}} \times a \sgn(\cos \theta) \\
 y\left(\theta\right) &= {|\sin}\theta|^{\frac{2}{n}} \times b \sgn(\sin \theta)
\end{align}
</math>

超橢圓內的面積可以用[[Γ函数]]Γ(''x'')來表示：

:<math>\ S</math> = <math>\Gamma(x) =4 a b \frac{\left(\Gamma \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\right)^2}{\Gamma \left(1+\tfrac{2}{n}\right)} . </math>

其[[垂足曲線]]較容易計算，而以下曲線的垂足曲線
:<math>\left(\frac{x}{a}\right)^n\! + \left(\frac{y}{b}\right)^n\! = 1</math>
可以用極坐標方式來表示<ref name="Ed"/>：
: <math>(a \cos \theta)^{\tfrac{n}{n-1}}+(b \sin \theta)^{\tfrac{n}{n-1}}=r^{\tfrac{n}{n-1}}.</math>
{{clear}}

==延伸==
[[Image:Superellipse generalization.png|thumb|right|廣義的超橢圓，''m''&nbsp;≠&nbsp;''n''.]]
超橢圓可以延伸為以下的形式：

:<math>\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; \qquad m, n > 0.</math>

或

:<math>
\begin{align}
 x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{m}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\
 y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin \theta).
\end{align}
</math>

其中的<math>\theta</math>'''不是'''表示角度，只是方程式的一個參數。

== 歷史 ==
超橢圓在笛卡兒坐標系下的表示式是由1795年出生的法國數學家[[加布里埃爾·拉梅]]，由椭圓的方程式擴展而得。

[[File:MeliorSuperEllipse.svg|thumb|176px|Zapf's Melior字體的'o'及'O'的輪廓可以用''n'' = {{nowrap|log(1/2) / log (7/9)}} ≈ 2.758的超橢圓來表示]]
字體設計師[[赫爾曼·察普夫]]在1952年設計的{{le|Melior|Melior}}[[字體]]，利用超橢圓作為字母''o''的外形。三十年後[[高德納]]設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用[[样条函数]]近似），作為他的[[Computer Modern]]字體。

1959年時瑞典[[斯德哥尔摩]]提出了其市中心[[賽格爾廣場]][[圓環]]的設計競賽。丹麥詩人[[皮亞特·海恩 (數學家)|皮亞特·海恩]](1905–1996)的設計以是一個''n'' = 2.5，''a''/''b'' = 6/5的超橢圓為基礎<ref name=gardner>{{Citation | last=Gardner | first=Martin | chapter=Piet Hein’s Superellipse | year=1977 | title=Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American | location=New York | publisher=[[Vintage Press]] | pages=240–254 | isbn=978-0-394-72349-5}}</ref>。他的說明如下：

:人是唯一一種會畫線然後將自己絆倒的動物。整個文明的推進有二個不同的取向：一種以直線及長方形為主，另一種則圓弧線為主。二種取向都有其機構上及心理上的原因。直線的事物可以放在一起，節省空間。而圓的東西很簡單，容易移動。但我們常常會陷入要在二者中選擇一個的困境，此時往往是介於二者中間的事物會更合適。隨意繪製的作品－例如以往在斯德哥尔摩出現過的圓環－無法達到這一點。它不是一個固定的形狀，也不像圓或方形有明確的定義，在美感上有所不足。超橢圓解決了這一個問題，它介於圓和長方形之間，既不是圓也不是長方形。它是一個有固定形狀、有明確定義的一個整體。

賽格爾廣場在1967年完成，而皮亞特·海恩繼續在其他的藝術品中使用超橢圓，包括牀、碟子、桌子等<ref name=bbc>[http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A1053884 ''The Superellipse''], in ''The Guide to Life, The Universe and Everything'' by [[英國廣播公司|BBC]] (27th June 2003)</ref>。皮亞特·海恩將超橢圓以長軸為軸心旋轉，形成了一個立體的{{link-en|超級蛋|superegg}}，其特點是可以平面上直立，不會倒下，因此變成一個特別的玩具。

1968年在巴黎在為[[越戰]]談判時，談判者不滿意談判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄給[[紐約時報]]的信件中建議以超橢圓作為談判桌的外形<ref name=gardner/>。1968年由[[墨西哥城]]主辦奧運時，也以超橢圓為[[阿茲特克體育場]]的外形。

{{link-en|托布勒|Waldo R. Tobler}}在1973年提出了{{link-en|托布勒超橢圓投影|Tobler hyperelliptical projection}}<ref>{{Citation|
last=Tobler|
first=Waldo|
title=The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections|
journal=Journal of Geophysical Research|
volume=78|
issue=11|
pages=1753–1759|
year=1973|
doi=10.1029/JB078i011p01753|
postscript=.
|bibcode=1973JGR....78.1753T
}}
</ref>，其中的[[經線]]就是用超橢圓來表示。

[[美式足球]]球隊[[匹兹堡钢人]]的標誌是三個相連的超橢圓。

==相關條目==
* [[星形线]]，''n''&nbsp;=&nbsp;2/3，且''a''&nbsp;=&nbsp;''b''的超橢圓，是四尖瓣的[[內擺線]]。
** {{link-en|三尖瓣線|Deltoid curve}}，是三尖瓣的內擺線。
* [[方圓形]]，''n''&nbsp;=&nbsp;4，且''a''&nbsp;=&nbsp;''b''的超橢圓，看起來像是「正方形的輪子」。
** [[勒洛三角形]]，看起來像是「三角形的輪子」。
* {{link-en|超公式|Superformula}}，超橢圓的延伸。
* {{link-en|超二次曲面|Superquadrics}}，三維下的超橢圓。
* {{link-en|超橢圓曲線|Superelliptic curve}}，方程為''Y''<sup>''n''</sup> = ''f''(''X'')的曲線。

==參考資料==
{{reflist|
refs=<ref name="Ed">{{cite book | author=J. Edwards | title=Differential Calculus
| publisher= MacMillan and Co.| location=London | pages=164| year=1892
|url=http://books.google.com/books?id=unltAAAAMAAJ&pg=PA164#v=onepage&q&f=false}}</ref>
}}

[[分類:曲線]]