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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{mergefrom|路程}}
'''距離'''是對兩個物體或位置間相距多遠的數值描述，是個不具[[方向]]性的[[純量]]，且不為[[負值]]。

在[[物理]]或日常使用中，距離可以是個物理長度，或某個估算值，指人、動物、交通工具或光線之類的[[媒介]]由起點至終點所經過的路徑長。

在[[數學]]裡，距離是個稱之為[[度量]]的函數，為物理距離這個概念之推廣。度量是個函數，依據一組特定的規則作用，且有具體的方法可用來描述一些空間內的元素互相「接近」或「遠離」。除了[[歐氏空間]]內常見的[[歐幾里得距離|距離]]定義外，在[[圖論]]與[[統計學]]等[[數學]]領域裡，亦存在其他的「距離」概念。在大多數的情形下，「從<math>A</math>至<math>B</math>的距離」與「從<math>B</math>至<math>A</math>的距離」的意義是相同的。

==兩點間的距離公式==
===歐幾里得距離===
{{Main|歐幾里得距離}}
在[[解析幾何]]裡，[[笛卡兒座標系|xy-平面]]上兩點的距離可使用距離公式求得。<math>(x_1,y_1)</math>與<math>(x_2,y_2)</math>間之距離為：
:<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\,</math>

同樣地，給定[[三維空間]]裡的兩個點<math>(x_1,y_1,z_1)</math> 與<math>(x_2,y_2,z_2)</math>，其間之距離為：

:<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.</math>
這些公式可以很容易地透過建構[[直角三角形]]，並利用[[勾股定理]]來導出。在平面上，可取得平行於[[座標軸]]的兩股長求出斜邊長；在三維空間裡，可由垂直於平面的一股與將第一個直角三角形的斜邊作為另一股來求解。在研究複雜的幾何時，此類距離稱之為'''歐幾里得距離'''，因為此類距離用到的勾股定理，於[[非歐幾何]]內並不成立。此一距離公式亦可延伸用來取得[[弧長]]公式。

===其他範數===
在[[歐氏空間]]<math>\mathbb{R}^n</math>裡，兩點間的距離通常由[[歐幾里得距離]]（2-[[範數]]距離）所給出。不過，有時也會使用由其他[[範數]]導出之距離。

對於點<math>(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>與點<math>(y_1,y_2,\ldots,y_n)</math>，p階[[明可夫斯基距離]]（p-範數距離）定義為：
{| cellpadding="2"
| 1-範數距離 || <math> = \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|</math>
|-
| 2-範數距離 || <math> = \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^2 \right)^{1/2}</math>
|-
| p-範數距離 ||<math> = \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}</math>
|-
| 無限範數距離 ||<math> = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}</math>
|-
| || <math> = \max \left(|x_1 - y_1|,  |x_2 - y_2|,  \ldots, |x_n - y_n| \right).</math>
|}

p 不一定要是[[整數]]，但不可以小於 1，不然[[三角不等式]]不會成立。

2-範數距離為[[歐幾里得距離]]，是[[勾股定理]]在兩維以上空間之推廣。2-範數距離為兩個點間使用[[直尺]]量測時所得之數值，為距離的「直觀」概念。

1-範數距離亦稱為「計程車範數」或[[曼哈頓距離]]，因為此一距離為汽車在以方形規劃（且假設無單行道）的城市裡駕駛之距離。

無限範數距離亦稱為[[切比雪夫距離]]。在二維空間裡，為[[王 (國際象棋)|國王]]在[[棋盤]]上的兩個方塊間移動所需之最少步數。

p-範數很小使用 1、2 與無限大以外的值，但可見於[[超橢圓]]內。

在物理空間裡，歐幾里得距離是最自然的形式，因為[[剛體]]的長度於此一距離下不會因[[旋轉]]而改變。

===距離的變分法公式===
在空間內，兩個點 <math>A = \vec{r}(0)</math> 與 <math>B = \vec{r}(T)</math> 間的歐幾里得距離可寫成[[變分法]]的形式，其距離為下列積分的最小值：

: <math>
D = \int_0^T \sqrt{\left({\partial \vec{r}(t) \over \partial t}\right)^2} \, dt
</math>

其中，<math>\vec{r}(t)</math>為兩點間的軌跡（路徑）。積分的值<math>D</math>表示該軌跡之長度。兩點間的距離為該積分的最小值，且會在<math>r = r^{*}</math>時求得，其中的<math>r = r^{*}</math>為最佳軌跡。在熟悉的歐氏空間裡，該最佳軌跡為一直線。每個人都知道，兩點間的最短距離為直線。直線在形式上可透過解上式之[[歐拉-拉格朗日方程式]]求得。在[[非歐幾何|非歐]][[流形]]（彎曲空間）裡，該空間的性質可使用[[度量張量]]<math>g_{ab}</math>來表示，而被積的函數則需修改為<math>\sqrt{g^{ac}\dot{r}_c g_{ab}\dot{r}^b}</math>。須注意，上式使用了[[愛因斯坦求和約定]]。

==推廣至更高維物件==
兩個物件間的歐幾里得距離亦可推廣至兩個物件不再是個點，而是更高維之[[流形]]（如曲線）的情形，所以除了談論兩點間的距離外，亦可討論兩條線間的距離之類的概念。

===集合間及一點與一集合間之距離===
[[File:Distance between sets.svg|thumb| ''d''(''A'',&nbsp;''B'')&nbsp;>&nbsp;''d''(''A'',&nbsp;''C'')&nbsp;+&nbsp;''d''(''C'',&nbsp;''B'')]]
物體間可以有不同的距離定義。例如，天體間的距離即有表面間距離與中心間距離兩種。[[近地軌道]]的物體適用前者，並以[[高度]]標示該物體與地球表面的距離；其他如[[地球]]與[[月球]]間之距離，則適用後者。

兩個非空[[集合]]間之距離的常見定義如下：
* 兩個非空集合間的距離為兩者內各自的點之間的距離之[[下確界]]，這是距離這一詞在日常中的含義，即
::<math>d(A,B)=\inf_{x\in A, y\in B} d(x,y).</math>
:此類距離是個對稱[[度量#預度量|預度量]]。若兩個集合有部分接觸或重疊，即不是「可分」的，因為這兩個不同但接觸或重疊的集合之距離為零。此外，該距離亦不滿足[[三角不等式]]。因此，只有在某些特殊情況下，此類距離才能構成[[度量空間]]。
* [[豪斯多夫距离|郝斯多夫距離]]是先取一集合內的點至另一集合各個點之距離的[[下確界]]，再取這些距離之[[上確界]]所得到的值，與兩個集合互換所得之值的最大值。亦即，令<math>X</math>與<math>Y</math>為度量空間<math>(M.d)</math>內的子集，則赫斯多夫距離為
::<math>d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{.} \! </math>
: 此類距離會構成度量空間的一非空[[緊緻空間|緊緻]]子集，該子集亦會是個[[度量空間]]。

===點線面間的距離公式===
在[[點]]、[[直線]]與[[平面 (数学)|平面]]之間的距離多採上述的第一種定義。這些物件在[[笛卡兒座標系]]下的距離公式列舉如下：

==== 点到直线的距离 ====
若在[[平面坐標幾何]]上的直線定義為<math>ax+by+c=0</math>''，點的座標為''<math>(x_0,y_0)</math>''，則兩者間的距離為：''
:<math>d =  \frac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}} </math>

==== 异面直线间的距离 ====
设两直线的方程分别为：
:<math>\frac{x-x_1}{L_1} = \frac{y-y_1}{M_1} = \frac{z-z_1}{N_1}</math>
:<math>\frac{x-x_2}{L_2} = \frac{y-y_2}{M_2} = \frac{z-z_2}{N_2}</math>
则，该两直线间的距离
:<math>d = \left|
\frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ L_1 & M_1 & N_1 \\ L_2 & M_2 & N_2 \end{vmatrix}}
{\sqrt{
\begin{vmatrix} M_1&N_1 \\ M_2&N_2 \end{vmatrix}^2 + 
\begin{vmatrix} N_1&L_1 \\ N_2&L_2 \end{vmatrix}^2 +
\begin{vmatrix} L_1&M_1 \\ L_2&M_2 \end{vmatrix}^2
}}
\right|
</math>

==== 点到平面的距離 ====
若点坐标为<math>(x_0,y_0,z_0)</math>，平面为<math>Ax+By+Cz+D=0</math>，则点到平面的距离为：
:<math>d = \frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

==== 两平行直线 ====
若直線分別為<math>ax+by+c_1=0</math>，和<math>ax+by+c_2=0</math>，則兩者間的距離為：

:<math>d = \frac{\left|c_1-c_2\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>

==== 两平行平面间的距离 ====
若两平行平面分别为<math>Ax+By+Cz+D_1=0</math>和<math>Ax+By+Cz+D_2=0</math>，则兩者间的距离为：

:<math>d = \frac{\left|D_1-D_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

===廣義距離泛函===
當需要處理的新物件為更廣義的物件（不再只是個點）時，不可擴展性、[[曲率]]限制與非局部互動等額外概念需要被加入距離的概念之內。兩個流形間的距離為一[[純量]]，可由最小化廣義距離泛函（表示兩個流形間的轉換）而導出：

: <math>
\mathcal {D} = \int_0^L\int_0^T \left \{ \sqrt{\left({\partial \vec{r}(s,t) \over \partial t}\right)^2} + \lambda \left[\sqrt{\left({\partial \vec{r}(s,t) \over \partial s}\right)^2} - 1\right] \right\} \, ds \, dt
</math>

上面的二重積分是兩個[[聚合物]]結構間的廣義距離泛函。<math>s</math>是空間參數，<math>t</math>是偽時間（軌跡參數）。亦即，<math>\vec{r}(s,t=t_i)</math> 為時間 <math>t_i</math> 時的聚合物結構，且以<math>s</math>作為其線段之參數。類似地，<math>\vec{r}(s=S,t)</math> 則為無限小之線段由結構 <math>\vec{r}(s,0)</math> 轉換成結構 <math>\vec{r}(s,T)</math> 的軌跡。其中的<math>\lambda</math>為[[拉格朗日乘數]]，用來確保聚合物的長度在轉換的過程中維持不變。若兩個聚合物不可擴展，則兩者間之轉換最小距離不會只有直線運動，即使是在歐幾里得度量之上。此類廣義距離可適用於[[蛋白質折疊]]的問題上<ref>SS Plotkin, PNAS.2007; 104: 14899–14904,</ref><ref>AR Mohazab, SS Plotkin,"Minimal Folding Pathways for Coarse-Grained Biopolymer Fragments" Biophysical Journal, Volume 95, Issue 12, Pages 5496–5507</ref>。此類廣義距離可類比[[弦論]]裡的[[南部-後藤作用量]]，但無法完全地對應，因為三維空間裡的歐幾里得距離不等價於古典相對論弦中最小化的時空距離。

==一般度量==
在[[數學]]裡，[[集合]]<math>M</math>上的[[度量|距離函數]]為一[[函數]]<math>d:M\times M\rightarrow R</math>，其中<math>R</math>為[[實數]]集，且滿足下列條件：
*<math>d(x,y)\geq 0</math>，且<math>d(x,y)= 0</math>若且唯若<math>x=y</math>。（兩個不同的點間之距離為正值，且僅在同個點間的距離為零。）
*<math>d(x,y)=d(y,x)</math>。（[[對稱關係|對稱性]]：不論方向為何，距離不變。）
*<math>d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)</math>。（[[三角不等式]]：兩點間的距離是所有路徑裡的最短距離。）
此一距離函數稱之為[[度量]]。具有度量之集合，稱為[[度量空間]]。

舉例而言，兩個實數<math>x</math>與<math>y</math>間的距離通常定義為：<math>d(x,y)=\left \vert x-y \right \vert</math>。此一定義滿足上述三個條件，且會對應至[[實數線]]上的標準[[拓撲]]。不過，集合上的距離是可選擇的，例如下面的定義：<math>d(x,y)=0</math>，若<math>x=y</math>，否則為 1。此一定義亦符合度量的三個條件，但會形成一個完全不同的拓撲，稱之為「[[離散拓撲]]」；在此一定義裡，數字間無法隨意地接近。

===圖論===
在[[圖論]]裡，兩個[[顶点 (图论)|頂點]]間的[[距離 (圖論)|距離]]為這些[[顶点 (图论)|頂點]]間最短[[路徑 (圖論)|路徑]]之長度。

==其他「距離」==
下面為名稱中帶有「距離」的名詞：
* [[坎培拉距離]]
* [[切比雪夫距離]]
* [[能量距離]]，為統計觀測量間的距離函數
* [[漢明距離]]與[[李距離]]，用於[[編碼理論]]中
* [[KL距離]]，用來量測兩個機率分布間的差異
* [[編輯距離]]
* [[馬氏距離]]，用於[[統計學]]裡。

== 参见 ==
{{col-start}}
{{col-break}}
*[[天文學單位系統]]
*[[同移距離]]
*[[宇宙距離尺度]]
*[[距離 (圖論)]]
*[[距離幾何問題]]
*[[距離測量 (宇宙學)]]
*[[戴克斯特拉演算法]]
*[[距離矩陣]]
*[[測距儀]]
* [[公差 (工程學)]]
*[[大圓距離]]
*[[位移]]
*[[長度]]
{{col-break}}
{{wikiquote}}
*[[漢明距離]]
*[[李距離]]
*[[度量]]
*[[度量空間]]
*[[里程碑]]
*[[數量級 (長度)]]
*{{le|靜止長度|Proper length}}
*{{le|人際距離學|Proxemics}} - 人與人之間的距離
*[[有號距離函數]]
*[[曼哈頓距離]]
*[[轨迹]]
*{{link-ja|运价里程|営業キロ}}
{{col-end}}

== 腳注 ==
{{reflist|2}}

{{几何术语}}
{{经典力学国际单位}}

[[Category:长度]]
[[Category:经典力学]]
[[Category:度量几何]]
[[Category:初等数学]]