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[[File:Runge theorem.svg|right|thumb|集合（淺藍色）和它的邊界（深藍色）。]]

'''邊界'''，（{{lang-en|boundary}}），是點集拓樸的概念，[[拓扑空间]] ''X'' 的子集 ''S'' 的'''边界'''是从 ''S''  和从 ''S'' 的[[外部]]都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是 ''S'' 的[[闭包]]但不是 ''S'' 的[[内部|內點]]的所有点的集合。''S'' 的边界的元素叫做 ''S'' 的'''邊界點'''（{{lang-en|boundary point }}）。集合 ''S'' 的边界的符号包括 bd(''S'')、fr(''S'') 和 ，<math>\partial S</math>。某些作者（比如 Willard 在 ''General Topology'' 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

''S'' 的边界的[[连通单元]]叫做 ''S''的'''边界单元'''。

== 定义 ==

[[拓扑空间]]<math>(X,\tau)</math>的子集<math>S</math>的'''边界'''（記為<math>\partial S</math>）有一些常用及等价的定义:

* <math>S</math>的[[闭包_(拓扑学)|闭包]]减去<math>S</math>的[[内部]]：<math>\partial S = \bar{S} - S^o </math>。
* <math>S</math>的闭包和其[[补集]]的闭包的交集：<math>\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X - S)}</math>。
* <math>\partial S</math>是所有满足以下条件的点<math>x</math>的集合：<math>x</math>的每个[[邻域]]都包含至少一个点属于<math>S</math>，且至少一个点不属于<math>S</math>。这些点称为<math>S</math>的'''边界点'''。

== 性质 ==
* 集合的边界是[[闭集]]。 
* ''p'' 是某集合的边界点，[[当且仅当]]所有 ''p'' 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
* 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。 
* 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是[[开集]]，当且仅当该集合与其边界不相交。
* 某集合的边界等于其补集的边界。
* 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
* 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是[[闭开集]])。

== 举例 ==
* 若 <math>X=[0,5) \,</math>，则 <math>\partial X = \{0,5\}</math>。
* <math>\partial \overline{B}(\mathbf{a}, r) = \overline{B}(\mathbf{a}, r) - B(\mathbf{a}, r)</math>
* <math>\partial D^n \simeq S^{n-1}</math>
* <math>\partial \emptyset = \emptyset</math>
* 在 '''R'''<sup>3</sup> 中，若 Ω=''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup> ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 '''R'''<sup>2</sup> 中，∂Ω = {(''x'', ''y'') | ''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup> = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。

== 引用 ==
{{reflist}}
* {{cite book | author = J. R. Munkres | title = Topology | publisher = Prentice-Hall | year = 2000 | id=ISBN 978-0-13-181629-9 }}
* {{cite book | author = S. Willard | title = General Topology | publisher = Addison-Wesley | year = 1970 | id=ISBN 978-0-201-08707-9 }}

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|B]]