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'''迪恩數'''（'''D'''，'''De'''或'''Dn'''）是流體力學中的[[无量纲量|無因次量]]，會用在彎管及彎曲渠道的流體研究中，得名自1920年代研究彎曲流場的英國科學家{{le|威廉·雷金納德·迪恩|W. R. Dean}}。

== 定義 ==
迪恩數的定義如下：

: <math>\mathit{De} = \frac{\rho V\! d}{\mu} \left( \frac{d/2}{R} \right)^{1/2}</math>

* <math>\rho</math> 為流體密度
* <math>\mu</math> 為流體的粘度
* <math>V</math> 是軸向的速度值
* <math>d</math> 為彎管直徑（若截面不是圓形，可以用等效直徑，請參考[[雷诺数|雷諾數]]）
* <math>R</math> 是彎管的曲率半徑
迪恩數和雷諾數（基於在直徑d的管內流速為V的流體）及[[曲率]]平方根的乘積成正比<ref>[http://wwwf.imperial.ac.uk/ssherw/spectralhp/papers/HaemodelChapter.pdf Chapter5 Geometry and Flow p.3] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304112322/http://wwwf.imperial.ac.uk/ssherw/spectralhp/papers/HaemodelChapter.pdf |date=2016-03-04 }}</ref>。

== 迪恩方程 ==
迪恩數出現在迪恩方程中，這是針對[[牛顿流体]]在[[環面]]管中的軸向均勻流，曲率效應較小 (<math>a/r \ll 1</math>) 時針對[[纳维-斯托克斯方程]]的近似。

此處使用[[正交座標系]] <math>(x,y,z)</math> ，其單位向量和彎管的中線對齊，<math>\hat{\boldsymbol{z}}</math>延著中線方向，<math>\hat{\boldsymbol{x}}</math>和中線平面垂直，而<math>\hat{\boldsymbol{y}}</math>為副法線．若軸向流是因為壓力梯度<math>G</math>而產生，其軸向速度<math>u_z</math> 除以 <math>U=Ga^2/\mu</math>，跨流線的速度<math>u_x, u_y</math> 除以 <math>(a/R)^{1/2} U</math>，跨流線的壓力除以<math>\rho a U^2/L</math>，而長度除以曲率半徑。

利用上述的無因次變數及座標，迪恩方程式可以用下式表示<ref>Mestel, J. [http://www.ma.ic.ac.uk/~ajm8/M4A33/Dean.pdf Flow in curved pipes: The Dean equations], ''Lecture Handout for Course M4A33'', Imperial College.</ref>

:<math>D \left( \frac{\mathrm{D} u_x}{\mathrm{D} t} + u_z^2 \right) = -D \frac{\partial p}{\partial x} + \nabla^2 u_x </math>
:<math>D \frac{\mathrm{D} u_y}{\mathrm{D} t} = -D\frac{\partial p}{\partial y} + \nabla^2 u_y</math>
:<math>D \frac{\mathrm{D} u_z}{\mathrm{D} t} = 1  + \nabla^2 u_z </math>
:<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

其中

:<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t} = u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y \frac{\partial}{\partial y}</math>為{{le|實質導數|convective derivative}}。

迪恩數''D''是上述系統中唯一的參數，也包括了曲率效應的第一階效應在內，若要考慮更高階的效應，需要引入其他的參數。

若曲率的影響不大時（D比較小），迪恩方程可以用迪恩數的级数展开來表示. 此處在 <math>D_c \approx 956</math>（Dennis & Ng 1982）時都還是穩定的<ref>{{Cite journal|last1 = Dennis|first1 = C. R.|last2 = Ng|first2 = M.|year = 1982|title = Dual solutions for steady laminar-flow through a curved tube|url = |journal = Q. J. Mech. Appl. Math.|volume = 35|issue = |page = 305|doi = 10.1093/qjmam/35.3.305}}</ref>。若D值較大，有許多不同的解，其中有許多是不穩定的。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

* {{Cite journal|last1 = Berger|first1 = S. A.|last2 = Talbot|first2 = L.|last3 = Yao|first3 = L. S.|year = 1983|title = Flow in Curved Pipes|url = |journal = Ann. Rev. Fluid Mech.|volume = 15|issue = |pages = 461–512|doi = 10.1146/annurev.fl.15.010183.002333|bibcode = 1983AnRFM..15..461B}}
* {{Cite journal|last1 = Dean|first1 = W. R.|year = 1927|title = Note on the motion of fluid in a curved pipe|url = http://www.informaworld.com/openurl?genre=article&issn=1941-5982&volume=4&issue=20&spage=208|journal = Phil. Mag.|volume = 20|issue = |pages = 208–223}}
* {{Cite journal|last1 = Dean|first1 = W. R.|year = 1928|title = The streamline motion of fluid in a curved pipe|url = http://www.informaworld.com/openurl?genre=article&issn=1941-5982&volume=5&issue=30&spage=673|journal = Phil. Mag. (7)|volume = 5|issue = |pages = 673–695}}
* 

{{NonDimFluMech}}

[[Category:无量纲]]
[[Category:流体动力学]]