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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-hans:埃尔德什; zh-hant:艾狄胥;
}}
在[[數學]]裡，'''重合幾何'''（incidence geometry）是研究[[重合結構]]的一門學科。[[二維空間|歐氏平面]]之類的[[幾何]]是一個複雜的數學物件，包含長度、角度、連續性、中間性與[[重合 (幾何)|重合關係]]。當其他的概念都被去掉，剩下的就只有「重合結構」，有關哪個點會位於哪條線上的資訊。即使有這樣嚴格的限制，還是有定理可被證明，而且存在著與此一結構有關之有趣事實。這樣的基本結論在其他概念被加回來形成較豐富的幾何時，仍然有效。有時，一些作者會搞混研究與研究的物件之間的不同之處，所以有些作者會將重合結構指為重合幾何，這並不令人意外<ref>As, for example, L. Storme does in his chapter on Finite Geometry in {{harvtxt|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 702}}</ref>。

重合結構會自然地出現於各個不同的數學領域之內，並已被許多人研究過。因此，存在著許多不同的詞彙用來描述此一物件。在[[圖論]]裡，重合結構被稱為[[超圖]]；而在[[組合設計理論]]裡，則被稱為[[區塊設計]]。除了詞彙的不同外，每個領域也以不同的方式處理此一物件，並對這些物件與該學科有關的一類問題感興趣。使用幾何的語言，如同在重合幾何內一般，形狀即時常會被作為主題與範例。不過，將其中一個學科裡的結論轉換成另一學科裡的用詞是可能的，雖然這往往會導致難以操作且令人費解的陳述，不像是該主題原本的一部分。在本條目裡，只會選擇使用能自然呈現幾何語言的範例。

其中最令人感興趣的例子為在[[二維空間|歐氏平面]]上的有限點集合，可由重合結構決定線的數量與類型。因為只考慮重合性質，上述情形所得之部分結論可延伸至更一般的設定上。

==重合結構==
{{main|重合結構}}

重合結構 {{math|(''P'', ''L'', I)}}包含一個其元素被稱為「點」的集合 P、一個其元素被稱為「線」的不相交集合 L，以及兩個集合間的「重合關係」 I，即 P × L 的子集（其元素被稱為「[[標記_(幾何)|標記]]」）<ref>技術上來看，這是個兩維的重合結構，其中維度是指考慮之物件類型數量（這裡為點與線）。也有人在研究更高維的結構，但一些作者會限定在兩維的情形，這裡也是如此。</ref>。若 (A, l) 是一個標記，則稱 A 重合於 l 或 l 重合於 A（此一關係具對稱性），且寫作　A I l。直上，一個點與一條線在此一關係內，若且唯若該點位於該線上。給定一個點 B 與一條線 m，使其不組成一個標記，亦該點不位於該線上，則 (B, m) 被稱為「非標記」。

===重合結構裡的距離===
重合結構裡並沒有距離（[[度量 (數學)|度量]]）的概念。不過，組合度量可存在於相對應的重合圖（[[勒維圖]]）裡，即為[[二分圖]]內兩個頂點間最短[[道路 (圖論)|道路]]的長度。重合結構內兩個物件（兩個點、兩條線或一個點與一條線）的距離，可被定義為與重合結構相對應之重合圖內，對應之頂點間的距離。

另一種定義距離的方式，再度使用於圖論中的概念，此次為與重合結構相對應之「共線圖」。共線圖的頂點為重合結構的點，且兩個點互連，若存在一條線重合這兩個點。重合結構內兩個點的距離可定義為共線圖內兩個頂點的距離。

當於重合結構內考量距離時，有必要提及其定義方式。

==部分線性空間==
最常被研究的重合結構會附加上一些額外的性質（公理），如[[投影平面]]、[[仿射平面]]、[[廣義多邊形]]、[[部分幾何]]與[[近多邊形]]等。極為一般的重合結構可透過附加「溫和」的條件取得，如：

[[部分線性空間]]為一重合結構，使得下列公理為真<ref>{{harvnb|Moorhouse|loc=pg.5}}</ref>：
* 每對不同點至多決定一條線。
* 每條線至少包含兩個不同的點。

在部分線性空間裡，每對不同條線相交於至多一個點上。此一陳述不須作為公理的一部分，因為可由上述公理中簡單地被證明出來。

此外，可更進一步加上正則條件之限制：

'''RLk'''：每條線會重合的點之數量均相同。若該數為有限，通常標記為 k。

'''RPr'''：每個點會重合的線之數量均相同。若該數為有限，通常標記為 r。

部分線性空間的第二個公理蘊涵著 {{math|''k'' > 1}}。兩個正則條件不會互相薀涵，所以必須假定 {{math|''r'' > 1}}。

有限部分線性空間若滿足正則條件，且 有限部分線性空間若滿足正則條件，且 k, r > 1，則稱之為「策略配置」（tactical configuration）<ref>{{harvnb|Dembowski|1968|page=5}}</ref>。一些作者會簡單稱之為[[配置 (幾何)|配置]]<ref>{{citation
| last=Coxeter
| first=H. S. M.
| author-link=哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特
| title=Introduction to Geometry
| location=New York
| publisher=John Wiley & Sons
| year=1969
| page=233
| isbn=0-471-50458-0}}</ref>，或「投影配置」<ref>{{citation
 | last1 = Hilbert | first1 = David | author1-link = David Hilbert
 | last2 = Cohn-Vossen | first2 = Stephan | author2-link = Stephan Cohn-Vossen
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-8284-1087-9
 | pages = 94–170
 | publisher = Chelsea
 | title = Geometry and the Imagination
 | year = 1952}}</ref>。若一策略配置有 n 個線與 m 條線，則透過重復計算標記，可建立 nr = mk 此一關係式，通常標記為 {{math|(''n''<sub>''r''</sub>, ''m''<sub>''k''</sub>)}} 配置。在 n = m （因此　r = k）時，　{{math|(''n''<sub>''k''</sub>, ''n''<sub>''k''</sub>)}} 通常簡寫為 {{math|(''n''<sub>''k''</sub>)}}。

[[File:Sample Incidence.jpg|thumb|最簡單的非平凡線性空間]]

[[線性空間]]為一部分線性空間，使得<ref>{{harvnb|Moorhouse|loc=pg. 5}}</ref>：
* 每對不同點恰好決定一條線。

一些作者會在(部分)線性空間裡加上「非退化」（或「非平凡」）公理，如：

* 存在至少兩條不同的線<ref>亦有其他的「非平凡」公理，如Batten與Beutelspacher於1993年提出的公理，為「存在三個不在同一條線上的點」。另外還有其他的選擇，均為「存在」陳述，以排除一些過於簡單的例子。</ref>。

這被用來排除一些非常小的例子（主要是集合 P 或 L 內少於2個元素之情形），這些例子通常會成為與重合結構有關之一般陳述的例外。另一種附加公理的方式為，將不符合公理的重合結構稱為「平凡」的；符合的則稱為「非平凡」的。

每個非平凡線性空間包含至少三個點與三條線，因此最簡單的非平凡線性空間為一三角形。

線性空間裡若每條線上至少有三個點，則稱之為[[西爾維斯特-加萊配置]]。

==基本幾何例子==
重合幾何裡的一些基本概念與術語源自於幾何之中，尤其是[[仿射平面]]與[[投影平面]]。

===投影平面===
{{main|投影平面}}
「投影平面」是一個線性空間，使得：
* 每對不同的線會相交於恰好一個點上，
以及非退化條件：
存在四個點，使得不存在三個這些點[[共線 (幾何)|共線]]。

在投影平面裡，點 P 與線 L 間存在著[[對射]]。若 P 為一有限集合，該投影平面稱之為「有限」投影平面。有限投影平面的階為 n = k - 1，即線上的點之數量減一。所有已知的投影平面均有[[質數冪次]]的階。n 階投影平面為 {{math|((''n''<sup>2</sup> + ''n'' + 1)<sub>''n'' + 1</sub>)}} 配置。

最小的投影平面有二階，並被稱為「法諾平面」。
[[File:Fano Plane.jpg|thumb|<center>二階投影平面<br>法諾平面</center>]]

====法諾平面====
{{main|法諾平面}}

此一著名的重合幾何係由義大利數學家[[基諾·法諾]]研究而得<ref>{{citation|first=G.|last=Fano|title=Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva|year=1892|journal=Giornale di Matematiche|volume= 30|pages=106–132}}</ref>。在證明 n 維[[投影空間]]公理之獨立性的過程中<ref>{{harvnb|Collino|Conte|Verra|2013|loc=p. 6}}</ref>，法諾發現了一個具15個點、35條線及15個平面的有限三維空間，其中每條線上有三個點<ref>{{harvnb|Malkevitch}} Finite Geometries? an AMS Featured Column</ref>。在這個空間裡的平面包含7個點與7條線，並被稱為[[法諾平面]]。

法諾平面無法於[[二維空間|歐氏平面]]內只使用點與直線段來表示。這是[[西爾維斯特-加萊定理]]的結論。

一個[[完全四線形]]由四個點組成，沒有任何三個點[[共線 (幾何)|共線]]。在法諾平面裡，除在完整四邊形裡的四個點外，另有三個完整四邊形的對角點，且這三個點[[共線 (幾何)|共線]]。這違反了「法諾公理」。該公理通常被用來作為歐氏平面的公理，表示一完整四邊形的三個對角點絕不會[[共線 (幾何)|共線]]。

===仿射平面===

{{main|仿射平面}}

「仿射平面」是一個線性空間，使得：
* 對任一點 A 與不與該點重合的線 l（非標記）恰有一條與 A 重合（即　A I m），但不與 l 相交的線 m（稱之為[[普萊費爾公理]]）。
並滿足非退化條件：
* 存在一個三角形，即三個非[[共線 (幾何)|共線]]的點。

在普萊費爾公理裡所述之線　l 與 m 被稱為是平行的。每個仿射平面均可唯一地被擴展成投影平面。有限仿射平面的「階」為 k，即一條線上點的數量。n 階仿射平面為 {{math|((''n''<sup>2</sup>)<sub>''n'' + 1</sub>, (''n''<sup>2</sup> + ''n'')<sub>''n''</sub>)}} 配置。
[[File:Hesse configuration.svg|thumb|left|<center>三階仿射平面<br> (黑塞配置)</center>]]

====黑塞配置====
{{main|黑塞配置}}

3階仿射平面為 {{math|(9<sub>4</sub>, 12<sub>3</sub>)}} 配置。當嵌入一些周圍的空間時，稱之為'''[[黑塞配置]]'''。黑塞配置不可能在歐氏平面裡實現，但可於[[複投影平面]]裡實現，有9個[[橢圓曲線]]的[[反曲點]]及12條線，且每條線各與3個點重合。

這12條線可以分成4類，每類3條線。在各類中，線互不相交。這些類被稱為線的「平行類」。加上4個新的點，於各個平行類中的所有線上（所以現在所有線都相交）；以及一條新的線，只包括這4個新的點，即可形成3階投影平面，具 {{math|(13<sub>4</sub>)}} 配置。相反地，從（唯一一種）3階投影平面開始，移除任意一條線，以及所有在該線上的點，即可形成一個（唯一一種）3階仿射平面。

移除一個點並通過該點的4條線（但不包括其他在這些線上的點）會形成 {{math|(8<sub>3</sub>)}} [[莫比烏斯-坎特配置]]。

==部分幾何==
[[File:GQ(2,2), the Doily.svg|thumb|部分幾何 pg(2,2,1)]]
{{main|部分幾何}}

給定一整數 α ≥ 1，策略配置若滿足：
對每個非標記 (B, m)，存在 α 個標記，使得 B I l 與 A I m，
則稱之為「部分幾何」。若一條線上有 s+1 個點，且一個點上有 t+1 條線，則該部分幾何標記為 pg(s, t, α)。

若 α = 1，該部分幾何為[[廣義四邊形]]。

若 α = s + 1，該部分幾何為[[斯坦納系統]]。

==廣義多邊形==
{{main|廣義多邊形}}

對 n > 2,<ref>n 邊形裡的「n」不應於配置內的點之數量搞混。</ref>，廣義 n 邊形是一個部分線性空間，其重合圖 Γ 具下列性質：
Γ 的[[周長 (圖論)|周長]]（最短[[環 (圖論)|環]]的長度）是　Γ　的[[直徑 (圖論)|直徑]]（兩個頂點間最長的距離，在此為　n）的兩倍。

「廣義2邊形」是一個重合結構，但不是部分線性空間，包括至少2個點與2條均與每個點重合的線。廣義2邊形的重合圖為一完整二分圖。

廣義 n 邊形不包含[[多邊形|一般 m 邊形]]，其中 2 ≤ m < n；且對每一對物件（兩個點、兩條線或一個點與一條線），總存在一包含這兩個物件的一般 n 邊形。

廣義3邊形為投影平面，廣義4邊形稱為[[廣義四邊形]]。由范特-希格曼定理可知，具有每條線至少3個點與每個點至少3條線的有限廣義 n 邊形只有 n = 2、3、4、6 或 8 時的廣義多邊形。

==近多邊形==
{{main|近多邊形}}
對一非負整數 d，近 2d 邊形是一重合結構，使得：
* 兩個點的最大距離（如在共線圖內量測）為 d，且
* 對每個點 X 與 線 l，存在唯一個在 l 上且最接近 X 的點。

近 0 邊形為一個點，近 2 邊形為一條線。近 2 邊形的共線圖為一[[完全圖]]。近 4 邊形為一（可能退化的）廣義四邊形。每個廣義多邊形都是個近多邊形。任何連通二分圖均是近多邊形，且任一每條線上恰有2個點的近多邊形也都是連通二分圖。此外，所有的[[極空間|對偶極空間]]都是近多邊形。

一些近多邊形與[[有限簡單群]]有關。

==莫比烏斯平面==
{{main|莫比烏斯平面}}
抽象莫比烏斯平面（或稱為反演平面）是一個重合結構，並為避免與傳統平面中的術語產生混淆，將之中的線稱之為「環」或「區塊」。

具體來說，莫比烏斯平面是一個點與環的重合結結，使得：
* 每三個不同點恰與一個環重合。
* For any flag {{math|(''P'', ''z'')}} and any point {{math|''Q''}} not incident with {{math|''z''}} there is a unique cycle {{math|''z''<sup>∗</sup>}} with {{math|''P'' I ''z''<sup>∗</sup>, ''Q'' I ''z''<sup>∗</sup>}} and {{math|1=''z'' ∩ ''z''<sup>∗</sup> =  {''P''}}}. (The cycles are said to ''touch'' at {{math|''P''}}.)
* 對任一標記　(P, z) 與任一不重合於 z 的點 Q，存在唯一個環 {{math|''z''<sup>∗</sup>}}，使得 {{math|''P'' I ''z''<sup>∗</sup>}}、{{math|''Q'' I ''z''<sup>∗</sup>}}，及 {{math|1=''z'' ∩ ''z''<sup>∗</sup> =  {''P''}}}（即這兩個環相交於　P）。
* 每個環有至少3個點，且至少存在一個環。

對莫比烏斯平面上的任一點 P，取 P 以外的其他所有點為點，以及僅包括 P 的環（並移除　P）為線，所得出之重合結構為一仿射平面。此一結構在設計理論中稱之為在　P 的「剩餘」。

m 階有限莫比烏斯平面具一策略配置，使得每個為 [[區塊設計|3-設計]]（具體來說，為　{{math|3-(''m''<sup>2</sup> + 1, ''m'' + 1, 1)}} 區塊設計）的環有 {{math|1=''k'' = ''m'' + 1}} 個點，

==歐氏平面裡的重合定理==
===西爾維斯特-加萊定理===
{{main|西爾維斯特-加萊定理}}
西爾維斯特-加萊定理是[[詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特]]提出一個與歐氏平面裡有限點集合之重合關係有關的問題，並由[[蒂博爾·由加萊]]提出解答。

'''西爾維斯特-加萊定理'''：歐氏平面上取一組有限多個點，這些點不是[[共線 (幾何)|共線]]，就是存在一條線恰與其中的兩個點重合。

該條恰與其中的兩個點重合的線，在此稱為「一般線」。西爾維斯特在思索黑塞配置的嵌入性時，幾乎快解出這個問題。

===迪布恩-艾狄胥定理===
{{main|{{tsl|en|De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)|迪布恩-埃尔德什定理}}}}

相關的結論為迪布恩-艾狄胥定理。[[尼古拉斯·霍弗特·迪布恩]]與[[保羅·艾狄胥]]於更一般設定的投影平面上證明出此一結論，但於歐氏平面中亦仍然成立。該定理為<ref>[http://mathworld.wolfram.com/about/author.html Weisstein, Eric W.], [http://mathworld.wolfram.com/deBruijn-ErdosTheorem.html "de Bruijn–Erdős Theorem"] from [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld]</ref>：

:: 於一[[投影平面]]上，每組非[[共線 (幾何)|共線]]的　n 個點，可至少決定 n 條不同的線。

正如作者所指出的一般，因為他們的證明是組合的，此一結論在更大的設定，且實際上在任一重合幾何內均會成立。他們還提到，在歐氏平面上的定理可利用[[數學歸納法]]由西爾維斯特-加萊定理證得。

===塞邁雷迪-托特定理===
{{main|塞邁雷迪-托特定理}}

一組有限的點與線所具有的標記數量之概估可由下列定理給出：

'''塞邁雷迪-托特定理'''：給定平面上的 n 個點與 m 條線，其標記（重合的對線對）之數量為：

:<math>O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right ),</math>

而且，此一概估無法再更加精確。

此一結論可用來證明貝克定理。

===貝克定理===
{{main|貝克定理}}

貝克定理表示，平面上任意有限多個點不是大部分的點會位於單一條線上，就是需要大量的線來連接所有的點。

該定理斷言，存在正實數 C、K，使得給定平面上任意 n 個點，下列陳述至少一個為真：

# 存在一條線包含至少{{sfrac|''n''|''C''}}個這些點。
# 存在至少 {{sfrac|''n''<sup>2</sup>|''K''}} 條線，使得每條線都包含至少兩個這些點。

在貝克原本的證明中，C 為100，而 K 則為一不確定的常數；但不知何值才是 C 與 K 的最優解。

==更多例子==

* [[投影幾何]]
* [[謀芳多邊形]]
* [[施萊夫利雙六]]
* [[雷伊配置]]
* [[克雷莫納-里奇蒙配置]]
* [[庫默爾配置]]
* [[克萊因配置]]
* [[非笛沙格平面]]

== 另見 ==

* [[組合設計]]
* [[有限幾何]]
* [[相交定理]]
* [[勒維圖]]

==註記==
{{reflist}}

==參考資料==

* {{citation|first1=Lynn Margaret|last1=Batten|title=Combinatorics of Finite Geometries|year=1986|publisher=Cambridge University Press|place=New York|isbn=0-521-31857-2}}

* {{citation|first1=Lynn Margaret|last1=Batten|first2=Albrecht|last2=Beutelspacher|title=The Theory of Finite Linear Spaces|year=1993|publisher=Cambridge University Press|place=New York|isbn=0-521-33317-2}}

* Buekenhout, Francis (1995), ''Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations'', Elsevier B.V.

* {{citation|last1=Colbourn|first1=Charles J.|last2=Dinitz|first2=Jeffrey H.|title=Handbook of Combinatorial Designs|year=2007|publisher=Chapman & Hall/ CRC|location=Boca Raton|isbn=1-58488-506-8|edition=2nd}}

* {{cite arXiv|first1=Alberto|last1=Collino|first2=Alberto|last2=Conte|first3=Alessandro|last3=Verra|title=On the life and scientific work of Gino Fano|eprint=1311.7177|year=2013}}

* {{Citation | last1=Dembowski | first1=Peter | title=Finite geometries | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]], Band 44 | mr=0233275  | year=1968 | isbn=3-540-61786-8}}

* {{cite web|last=Malkevitch|first=Joe|title=Finite Geometries?|url=http://www.ams.org/featurecolumn/archive/finitegeometries.html|accessdate=Dec 2, 2013}}

* {{cite web|last=Moorhouse|first=G. Eric|title=Incidence Geometry|url=http://www.uwyo.edu/moorhouse/handouts/incidence_geometry.pdf|accessdate=Oct 20, 2012|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131029221809/http://www.uwyo.edu/moorhouse/handouts/incidence_geometry.pdf|archivedate=2013-10-29}}

* {{citation
 | last = Ueberberg | first1 = Johannes
 | doi = 10.1007/978-3-642-20972-7
 | publisher = Springer
 | title = Foundations of Incidence Geometry
 | isbn = 978-3-642-26960-8
 | year = 2011
 | series = Springer Monographs in Mathematics}}.

* {{citation
 | last = Shult | first1 = Ernest E.
 | doi = 10.1007/978-3-642-15627-4
 | publisher = Springer
 | title = Points and Lines
 | isbn = 978-3-642-15626-7
 | year = 2011
 | series =Universitext}}.

==外部連結==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Incidence_system ''incidence system''] at the [[數學百科全書|Encyclopedia of Mathematics]]

[[分類:重合幾何| ]]