查看“鏈環”的源代码

在'''交換代數'''中，一個交換環 <math>R</math> 被稱作'''鏈環'''，若且唯若對任何一對[[素理想]]

: <math>\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}</math>

任何嚴格遞增的素理想鏈 
: <math> \mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subset \mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n = \mathfrak{q} </math>

皆包含於一個從 <math>\mathfrak{p}</math> 到 <math>\mathfrak{q}</math> 的有限長極大鏈，而且此極大鏈的長度僅依賴於 <math>\mathfrak{p}, \mathfrak{q}</math>。因此我們有一個從素理想對 <math>\{ ( \mathfrak{p},\mathfrak{q}) \in \mathrm{Spec}(R)^2 : \mathfrak{p} \subset \mathfrak{q} \}</math> 至 <math>\mathbb N</math> 的映射。在[[代數幾何]]上，此條件能理解為維度可明確定義。

一個環被稱為'''泛鏈環'''，若且唯若其上的任何有限生成代數都是鏈環。

==例子==

幾乎所有代數幾何中出現的諾特環都是泛鏈環，包括以下例子：
* 完備諾特[[局部環]]
* 戴德金環
* 域
* Cohen-Macaulay 環
* 泛鏈環的[[局部化]]仍為泛鏈環

非泛鏈環甚難構造。第一個例子由[[永田雅宜]]於1956年造出，這是個諾特局部整環，它是鏈環而非泛鏈環（見參考文獻 ''Local Rings'' 第 203 頁例 2）。

==文獻==

*H. Matsumura, ''Commutative algebra'' ISBN 0-8053-7026-9.
*Nagata, Masayoshi ''Local rings.'' Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0882752286

[[Category:代數幾何|L]]
[[Category:交換代數|L]]