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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{微积分学}}
'''鏈鎖律、链式法则'''或'''鏈鎖定則'''（英语：'''{{lang|en|chain rule}}'''），是求[[复合函数]][[导数]]的一个法则。设<math>f </math>和<math>g </math>为两个关于<math>x </math>可导函数，则复合函数<math> (f \circ g)(x)</math>的导数<math> (f \circ g)'(x)</math>为：

:<math> (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x).</math>

== 例子 ==

求函数 <math>f(x) = (x^2 + 1)^3</math>的导数。

:设 <math>g(x) = x^2 + 1</math>
:<math>h(g) = g^3 \to h(g(x)) = g(x)^3.</math>
:<math>f(x) = h(g(x)) </math>
:<math>f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^2(2x)=3(x^2+1)^2(2x)=6x(x^2+1)^2. </math>

求函数 <math>\arctan\,\sin\, x</math>的导数。

:<math>\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}</math>

== 证明 ==
设''f''和''g''为函数，''x''为常数，使得''f''在''g(x)''可导，且''g''在''x''可导。根据可导的定义，

:<math> g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,</math>，其中当<math>\delta\to 0</math>时，<math> \epsilon(\delta) \to 0 \,</math>。

同理，
:<math> f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \,</math>，其中当<math>\alpha\to 0. \,</math>时，<math>\eta(\alpha) \to 0 \,</math>。

现在

:{|
|-
|<math> f(g(x+\delta))-f(g(x))\, </math>
|<math>= f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,</math>
|-
|
|<math> = \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,</math>
|}

其中<math>\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,</math>.
注意到当<math>\delta\to 0</math>时，<math>\frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x)</math>及<math>\alpha_\delta \to 0</math>，因此 <math>\eta(\alpha_\delta)\to 0</math>。因此
:<math> \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x)).</math>

== 多元复合函数求导法则 ==
考虑函数''z'' = ''f''(''x'', ''y'')，其中''x'' = ''g''(''t'')，''y'' = ''h''(''t'')，''g''(''t'')和''h''(''t'')是可微函数，那么：
:<math>{\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.</math> 

假设''z'' = ''f''(''u'', ''v'')的每一个自变量都是二元函数，也就是说，''u'' = ''h''(''x'', ''y'')，''v'' = ''g''(''x'', ''y'')，且这些函数都是可微的。那么，''z''的偏导数为：
:<math>{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}</math>

:<math>{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.</math>

如果我们考虑
:<math>\vec r = (u,v)</math> 
为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的[[梯度]]与<math>\vec r</math>的偏导数的[[数量积]]：
:<math>\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}.</math>

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：
:<math>\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}.</math>

== 高阶导数 ==
复合函数的最初几个高阶导数为：
:<math>\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}</math>
:<math>
  \frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2}
  = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 
    + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}
</math>
:<math>
  \frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3} 
  = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 
    + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}
    + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3} 
</math>
:<math>
  \frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4}
  =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 
    + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} 
    + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\}
      
    + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}.
</math>

== 参见 ==
* [[乘积法则]]
* [[除法定则]]

[[Category:求导法则]]
[[Category:微積分定理]]