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{{NoteTA|G1=Math|1=zh:閉圖像定理;zh-hans:闭图像定理;zh-hant:閉圖定理}}
'''閉圖像定理'''是[[數學]]中[[泛函分析]]的一條定理。

== 敘述 ==
設<math>X</math>，<math>Y</math>為[[巴拿赫空間]]，<math>T:X \to Y</math>為[[線性算子]]。定義<math>T</math>的[[圖像]]為<math>X \times Y</math>的子空間
: <math>\Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}</math>。
賦予<math>X \times Y</math>[[範數]]<math>\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y</math>，使得<math>X \times Y</math>成為巴拿赫空間。那麼，這定理指<math>T</math>是[[連續]]的（與[[有界]]等價）當且僅當<math>\Gamma (T) </math>在<math>X \times Y</math>內是閉集。

== 證明 ==
閉圖像定理可以從[[開映射定理]]推導出來。

<math>\Gamma (T) </math>是閉集的充分必要條件是如果序列<math>\{(x_n,y_n)\}_n\subset \Gamma(T)</math>（即對任意<math>n</math>有<math>y_n=T(x_n)</math>），而<math>(x_n,y_n) \to (x,y)</math>，那麼<math>(x,y)\in \Gamma(T)</math>，<math>y=T(x)</math>。如果<math>T</math>是連續的，從連續性立刻可知<math>\Gamma (T) </math>是閉集，因為連續性是更強的條件：如果<math>x_n \to x</math>，則<math>T(x_n)\to T(x)</math>。

如果<math>\Gamma (T) </math>是閉集，可以在<math>\Gamma (T) </math>定義線性算子
: <math>\pi_1: \Gamma (T) \to X,\ (x,y) \mapsto x</math>，
: <math>\pi_2: \Gamma (T) \to Y,\ (x,y) \mapsto y</math>。
顯然<math>\|\pi_2(x,y) \|_Y = \|y\|_Y \leq \|(x,y) \|_{X\times Y}</math>，因此<math>\pi_2</math>是有界算子。

<math>\Gamma (T)</math>是巴拿赫空間<math>X\times Y</math>中的閉子空間，所以<math>\Gamma (T)</math>是巴拿赫空間。<math>X</math>也是巴拿赫空間，<math>\pi_1</math>是[[雙射]]，從而由開映射定理的系可知，其逆<math>\pi_1^{-1}:X \to \Gamma (T)</math>為有界算子。

因為<math>T = \pi_2 \circ \pi_1^{-1}</math>，故<math>T</math>也是有界的。

== 推論 ==
從這定理可得出[[黑林格-特普利茨定理]]──[[希爾伯特空間]]上處處定義的對稱[[線性算子]]是有界的。
{{泛函分析}}
{{泛函分析定理}}

[[Category:泛函分析|B]]
[[Category:数学定理|B]]