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'''閉包'''，（{{lang-en|closure}}），這裡指點集拓樸的術語：在[[拓撲空間]]裡，子集''S'' 的'''闭包'''是指由''S'' 的所有点及''S'' 的[[極限點]]所組成的一個集合；直觀上來說，即為所有「靠近」''S''　的點所組成的集合。在子集''S''　的閉包內的點稱為''S'' 的'''閉包點'''。闭包的概念在許多方面能與[[内部]]的概念相對比。

== 定义 ==

=== 闭包点 ===

設''S'' 為[[歐幾里德空間]]內的一個子集，若所有以''x'' 為中心的[[開球]]都包含''S'' 內的一點（這個點也可以是''x'' 自身），即稱''x'' 為''S''　的閉包點。

上述定义可以推广到[[度量空间]]''X'' 的任意子集''S''之上。具体地说，設''X'' 為具度量''d'' 的度量空间，''S''為''X'' 內的子集，若对所有的''r'' > 0，皆存在一個''S'' 內的點''y''，使得 ''d''(''x'', ''y'') < ''r''（同样地，''x'' = ''y'' 也可 ），即稱''x'' 為''S'' 的閉包點。另外，也可以如下定義：若 ''d''(''x'', ''S'') := [[infimum|inf]]{''d''(''x'', ''s'') : ''s'' in ''S''} = 0，即稱''x'' 為''S''的閉包點。上述兩種定義的寫法是同樣的意思。

最後，閉包點的定义也可以推广到[[拓扑空间]]，只需要用[[邻域]]替代“开球”即可。设''S'' 為拓扑空间''X'' 的子集，则''x'' 稱為''S'' 的闭包点，若所有''x'' 邻域都包含''S'' 內的一点。注意，这个定义并不要求邻域一定要為开集。

=== 极限点 ===

闭包点的定义非常接近[[极限点]]的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 ''x'' 的邻域必须包含“ 不是 x 自身的”这个集合的点。

因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是[[孤点]]。也就是说，点 ''x'' 是孤点，若它是 ''S'' 的元素，且存在 ''x'' 的邻域，该邻域中除了 ''x'' 没有其他的点属于 ''S''。

对给定的集合 ''S'' 和点 ''x''，''x'' 是 ''S'' 的闭包点，[[当且仅当]] ''x'' 属于 ''S''，或 ''x'' 是 ''S'' 的极限点。

=== 集合的闭包 ===

集合''S'' 的'''闭包'''是指由所有''S'' 的闭包点所组成的集合。''S'' 的闭包写作 cl(''S'')，Cl(''S'') 或 ''S''<sup>−</sup>。集合的闭包具有如下性质：

* cl(''S'') 是 ''S'' 的闭父集。
* cl(''S'') 是所有包含 ''S'' 的[[闭集]]的交集。
* cl(''S'') 是包含 ''S'' 的最小的闭集。
* 集合 ''S'' 是闭集，当且仅当 ''S'' = cl(''S'')。
* 若 ''S'' 是 ''T'' 的子集，则 cl(''S'') 是 cl(''T'') 的子集。
* 若 ''A'' 是闭集，则 ''A'' 包含 ''S'' 当且仅当 ''A'' 包含 cl(''S'')。

上述第二或第三条性质可作为拓扑闭包的''定义''。

在[[第一可数空间]]（如度量空间）中，cl(''S'') 是所有点的收敛[[序列]]的所有[[极限]]。

注意，若将“闭包”、“交集”、“包含”、“最小”、“闭”等词汇相应替换成“内部”、“并集”、“包含于”、“最大”、“开”，上述性质仍然成立。更多信息请参看下面的“闭包算子”。

=== 其他性质 ===
* 集合的[[交集]]的闭包是集合的闭包的交集的[[子集]]。
* [[有限]]多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的[[父集]]。

若 <math>A</math> 为包含 <math>S</math> 的 <math>X</math> 的[[子空间]]，则 <math>S</math> 在 <math>A</math> 中计算得到的闭包等于 <math>A</math> 和 <math>S</math> 在 <math>X</math> 中计算得到的闭包（<math>Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)</math>）的交集。特别的，<math>S</math> 在 <math>A</math> 中是[[稠密]]的，当且仅当 <math>A</math> 是 <math>Cl_X(S)</math> 的子集。

== 举例 ==

* 在任意空间，空集的闭包是空集。
* 对任意空间 ''X''，cl(''X'') = ''X''。
* 若 ''X'' 为[[实数]]的欧几里得空间 '''R'''，则 cl((0, 1)) = [0, 1]。
* 若 ''X'' 为实数的欧几里得空间 '''R'''，则[[有理数]]集合 '''Q''' 的闭包是全空间 '''R'''。也就是，'''Q''' 在 '''R''' 中是[[稠密]]的。
* 若 ''X'' 为[[複平面]] '''C''' = '''R'''<sup>2</sup>，则 cl({''z'' 属于 '''C''' : |''z''| > 1}) = {''z'' 属于 '''C''' : |''z''| ≥ 1}。
* 若 ''S'' 为欧几里得空间的[[有限]]子集，则 cl(''S'') = ''S''。（在一般拓扑空间，这个性质和[[T1空间|T<sub>1</sub> 公理]]等价。）

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

* 若 ''X'' = '''R'''，且 '''R''' 有[[下限拓扑]]，则 cl((0, 1)) = [0, 1]。
* 若考虑 '''R''' 中所有集合都是开（闭）集的拓扑，则 cl((0, 1)) = (0, 1)。
* 若考虑 '''R''' 中只有空集和 '''R''' 自身是开（闭）集的拓扑，则 cl((0, 1)) = '''R'''。

上述示例中集合的闭包取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。

* 在任意[[离散空间]]中，由于所有集合都是开（闭）集，所以所有集合都等于其闭包。
* 在任意[[不可分空间]] ''X'' 中，由于只有空集和 '''X''' 自身是开（闭）集，所以空集的闭包是空集，对 ''X'' 中的非空集 ''A''，cl(''A'') = ''X''。也就是说，所有非离散空间中的非空集都是稠密的。

集合的闭包也取决于背景空间。例如：若 ''X'' 是有理数集合，具有从欧几里得空间 '''R''' 中得到的[[子空间拓扑]]，且 ''S'' = {''q'' 属于 '''Q''' : ''q''<sup>2</sup> > 2}，则 ''S'' 是 '''Q''' 中的闭集，且 ''S'' 在 '''Q''' 中的闭包是 ''S''。相应的，''S'' 在欧几里得空间 '''R''' 中的闭包是所有大于''等于'' <math>\sqrt2</math> 的''实数''组成的集合。

== 闭包算子 ==

'''闭包算子''' <sup>−</sup> 和[[内部]]算子 <sup>o</sup> 对偶，即

:''S''<sup>−</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>o</sup>

并且

:''S''<sup>o</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>−</sup>

这里，''X'' 表示包含 ''S'' 的[[拓扑空间]]，反斜线表示集合的[[补集]]。

因此，[[闭包算子]]和[[庫拉托夫斯基闭包公理]]的抽象理论就可以方便地转换为内部算子的写法，这里只需要将集合用它们的补集替换就可以了。

通过对给定集合反复应用闭包和补集运算最多能得到 14 个不同的集合，这个结果叫做[[库拉托夫斯基十四集问题]]。

== 参见 ==
* [[内部]]
* [[庫拉托夫斯基閉包公理]]

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|B]]
[[Category:闭包算子]]