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[[File:Damped spring.gif|right|frame|欠阻尼的彈簧質量系統，ζ<1]]

'''阻尼比'''（{{lang-en|Damping ratio}}）是[[工程]]上的[[無因次量]]，描述系統在受到擾動後振盪及衰減的情形。許多系統在受擾動，離開其[[力學平衡|靜平衡]]位置時都會振盪，例如吊在彈簧的重物，若用力往上拉再放開，就會上上下下的擺動。在擺動過程中，系統試圖回到平衡位置，不過會出現[[過沖]]。有時系統會有損耗（例如[[摩擦力]]）會形成系統的[[阻尼]]，會使系統的振盪漸漸變小，最後{{le|衰減|Attenuation}}。阻尼比是描述系統的振盪多快可以衰減。

系統的振盪行為出現在許多不同的領域中，例如[[控制工程]]、[[機械工程]]、[[結構工程]]及[[電機工程]]等。振盪的物理量可能有很大的不同，振盪的可能是在大風中的建築物，也可能是[[馬達]]的速度，但利用正規化、無因次化的分析可以描述這些現象中共通的特性。

==振盪情形==
* 當彈簧質量系統完全沒有損耗，質量會一直擺動，不會結束，每一次的擺動振幅都和之前一樣，這種理想情形稱為無阻尼。
* 若系統的損耗很大，例如彈簧質量系統放置在[[黏滯]]的液體中，系統會慢慢的回到初始位置，甚至不會過沖，這稱為過阻尼。
* 一般而言，在擺動時會出現過沖，再往另一邊擺動，再回來，在擺動過程中，系統消耗了一些能量，而擺動振幅也會越來越小，最後回到初始位置，這稱為欠阻尼。
* 在過阻尼及欠阻尼二個條件之間，有一個特定的情形是系統不會過沖，會在最快時間回到初始位置，這稱為臨界阻尼。臨界阻尼和過阻尼都不會過沖，而臨界阻尼是最快回到初始位置的那一個阻尼條件。

== 定義 ==
[[File:2nd Order Damping Ratios.svg|thumb|300px|right|二階系統下不同阻尼比的影響]]

阻尼比常用ζ表示<ref>{{cite book
| title = Introduction to Mechatronics and Measurement Systems 
| last = Alciatore
| first = David G.
| publisher = McGraw Hill
| year = 2007
| edition = 3rd
| ISBN = 978-0-07-296305-2}}</ref>，是二階[[微分方程]][[步階響應]]及[[頻率響應]]的參數之一。在[[控制理論]]及[[諧振子]]中相當重要。

阻尼比表示系統的阻尼相對於臨界阻尼的比值。若有阻尼的諧振子質量為''m''、阻尼係數為''c''、彈簧常數為''k''，
阻尼比可定義為系統的阻尼常數相對於臨界阻尼的比例：

:<math> \zeta = \frac{c}{c_c},</math> 
:<math> \zeta = \frac {\text{actual damping}} {\text{critical damping}},</math>

若系統的運動方程為
:<math> m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 </math>

其臨界阻尼係數為
:<math> c_c = 2\sqrt{km} </math>

或
:<math> c_c=2m\omega_n </math>

阻尼比是二個相同單位係數的比值，因此為無因次量。

== 衍生 ==
利用[[簡諧運動]]的[[自然頻率]]<math>\omega_n = \sqrt{k/m}</math>及以上的阻尼比定義，可以將二階微分方程式改寫如下： 
:<math> \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_n\frac{dx}{dt} + \omega_n^2 x = 0. </math>

上述方程式可以用以下的方式求解
:<math> x(t)=C e^{s t},\,</math>

其中''C''和''s''都是[[複數]]的常數。此解法假設解是振盪且/或指數遞減，將此放入微分方程中，可以得到振盪頻率的條件：
:<math> s = -\omega_n (\zeta \pm \sqrt{\zeta^2-1}). </math>

*無阻尼：<math>\zeta \to 0</math>對應沒有阻尼的簡諧運動，其解為<math>\exp(i\omega_nt)</math>。
*欠阻尼：若''s''為複數，解為指數遞減且振盪的函數，可用<math>\exp(i \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t)</math>表示。此時<math> \zeta < 1 </math>，稱為欠阻尼。
*過阻尼：若''s''為實數，則解為沒有振盪的指數遞減，此時<math> \zeta > 1 </math>，稱為過阻尼。
*臨界阻尼：當<math> \zeta = 1 </math>，介於過阻尼及欠阻尼之間，稱為臨界阻尼，這是許多工程應用想要的結果，也會希望阻尼振盪器可以設計在這一點。

== 品質因子及衰減速率 ==
{{main|品質因子}}

品質因子''Q''、阻尼比ζ及指數衰減率α有以下的關係<ref name=Siebert>{{cite book | title = Circuits, Signals, and Systems | author = William McC. Siebert | publisher = MIT Press }}</ref>
:<math>
\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_0 }.
</math>

若二階係系統的<math>\zeta < 1</math>（欠阻尼系統），系統有二個[[共軛]]零點，其實部為<math>\alpha</math>，因此其指數衰減率參數<math>\alpha</math>表示振盪後[[指數衰減]]的速度。低阻尼比表示其衰減速度慢，因此許多欠阻尼的系統可以振盪較長的時間<ref>
{{cite book
 | title = Process control engineering: a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers
 | author = Ming Rao and Haiming Qiu
 | publisher = CRC Press
 | year = 1993
 | isbn = 978-2-88124-628-9
 | page = 96
 | url = http://books.google.com/books?id=NOpmEHNRH98C&pg=PA96
 }}</ref>。像高品質的[[音叉]]其阻尼比很小，因此敲擊後振盪可以持續很長的時間，衰減的速度很慢。

==对数衰减==
阻尼比也和欠阻尼系統中的{{le|对数衰减|logarithmic decrement}}<math>\delta</math>有關
:<math> \zeta = \frac{\delta}{\sqrt{(2\pi)^2+\delta^2}} \qquad \text{where} \qquad \delta \triangleq \ln\frac{x_1}{x_2}.</math>

上述關係只在欠阻尼的系統下有效，因為对数衰减定義為二個相鄰振幅比例的自然對數，而只有欠阻尼系統有振盪，才有對應的振幅。

== 相關條目 ==
* [[品質因子]]
* {{le|衰減|Attenuation}}

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:力學上的無因次量]]
[[Category:工程比例]]
[[Category:常微分方程]]