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'''阿廷環'''是[[抽象代數]]中一類滿足[[降鏈條件]]的[[環]]，以其開創者[[埃米爾·阿廷]]命名。

== 定義 ==
一個環<math>A</math>稱作阿廷環，若且唯若對每個由<math>A</math>的[[理想]]構成的降鏈<math>\mathfrak{a}_1 \supset \mathfrak{a}_2 \supset \ldots, \supset\mathfrak{a}_n \supset\ldots</math>，必存在<math>N \subset \mathbb{N}</math>，使得對所有的<math>n,m \geq N</math>都有<math>\mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_m</math>（換言之，此降鏈將會固定）。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環，A是左（右）阿廷環若且唯若A在自己的左（右）乘法下形成一個左（右）[[阿廷模]]；對於交換環則無須分別左右。

== 例子 ==
* 設<math>k</math>為一個[[域]]，若環<math>A</math>是佈於<math>k</math>上的有限維代數，則<math>A</math>是阿廷環。

== 基本性質 ==
若一個環<math>A</math>是交換阿廷環，則滿足下列性質：

* <math>A</math>是[[諾特環]]。
* 每個[[理想 (環論)|素理想]]皆是[[理想 (環論)|極大理想]]。
* <math>A</math>僅有有限個素理想。
* 對每個素理想的[[局部化]]誘導出同構 <math>A \stackrel{\sim}{\rightarrow} \prod_\mathfrak{p} A_\mathfrak{p}</math>。

就[[代數幾何]]的觀點，阿廷環的[[交換環譜|譜]]在拓樸上只是有限多個點，但其結構層可能帶有冪零的元素，這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

==参见条目==
* [[埃雷斯曼联络]]
* [[仿射联络]]
* [[曲率形式]]

== 文獻 ==
* Charles Hopkins. ''Rings with minimal condition for left ideals''. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730. 
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

[[Category:交換代數|A]]
[[Category:抽象代數|A]]
[[Category:環論|A]]