查看“阿达马矩阵”的源代码

{{Link style|time=2015-12-12T07:12:32+00:00}}
在[[数学]]中，'''阿达马矩阵'''是一个[[方块矩阵|方阵]]，每个元素都是 +1 或 &minus;1，每行都是互相正交的。阿达马矩阵常用于[[纠错码]]，如[[Reed-Muller码]]。阿达马矩阵的命名来自于法国数学家[[雅克·阿达马]]。

== 性质 ==

''n'' 阶的阿达马矩阵 ''H'' 满足下面的式子
:<math> H H^{\mathrm{T}}= n I_n </math>
这里 ''I<sub>n</sub>'' 是 ''n'' &times; ''n'' 的[[单位矩阵]]。

假设 ''M'' 是一个 ''n'' 阶的实矩阵，它的每个元素都是有界的

|''M<sub>ij</sub>''| &le;1. 

则存在[[阿达马不等式]]：

:<math> |\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}. </math>

当且仅当''M''是阿达马矩阵式上式取等号。

阿达马矩阵的阶数必须是1,2，或者是4的倍数。

==西尔维斯特构造法 ==

阿达马矩阵最初的构造的例子是由[[詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特]]给出的。假设''H''是一个''n''阶的阿达马矩阵，则下面的矩阵
:<math>\begin{bmatrix} H & H\\ H & -H\end{bmatrix}</math> 
给出一个2''n''阶的阿达马矩阵。连续使用这个方法，我们可以给出下面的一系列矩阵：
:<math> H_1 = \begin{bmatrix}1\end{bmatrix} </math>
:<math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} </math>
:<math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} </math>
::<math> \vdots </math>
利用这种方法，西尔维斯特成功的构造了任何2<sup>''k''</sup> 阶阿达马矩阵，其中''k''为非负整数。

西尔维斯特给出的矩阵有些特殊的性质。他们都是[[对称矩阵]]，并且这些矩阵的[[迹]]都是0。第一行和第一列的元素都是+1，其他各行各列的元素都是一半+1，一半-1。这些矩阵和[[Walsh函数]]有密切的关系。

==阿达马猜想 ==

在阿达马矩阵理论最重要的开放性问题(即尚且无法判断对错的问题)是存在性的问题。

即'''阿达马猜想''': 对于每个4的倍数 ''n'' = 4''k''，''k'' 为自然数，都存在 ''n'' 阶的阿达马矩阵。

西尔维斯特构造法给出了阶数为1, 2, 4, 8, 16, 32 等等的阿达马矩阵，之后阿达马本人给出了阶数为12和20的阿达马矩阵。[[:en:Raymond Paley|Raymond Paley]] 随后给出了任何''q''+1 阶的阿达马矩阵的方法，其中q 是任何模4为3的[[质数]]任意次幂。他也给出了形式为2(''q''+1)的阿达马矩阵的方法，其中q 是任何模4为1的[[质数]]任意次幂。他使用了[[有限域]]的办法得出了这些结论。阿达马猜想很可能就是Paley提出的。现在有了更多的构造阿达马矩阵的办法。

Hadi Kharaghani 和 Behruz Tayfeh-Rezaie 2004年6月21日宣布他们构造出了428阶的阿达马矩阵。<ref>{{cite journal |first=H. |last=Kharaghani |first2=B. |last2=Tayfeh-Rezaie |title=A Hadamard matrix of order 428 |journal=Journal of Combinatorial Designs |volume=13 |year=2005 |issue=6 |pages=435–440 |doi=10.1002/jcd.20043 }}</ref>现在最小的尚未被构造出来的4k阶阿达马矩阵是668阶。

== 参考 ==

* H. Kharaghani and B. Tayfeh-Rezaie, [http://math.ipm.ac.ir/tayfeh-r/papersandpreprints/h428.pdf ''A Hadamard matrix of order 428''], 2004. 
{{reflist}}

[[Category:矩陣]]
[[Category:数学中未解决的问题]]