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{{微积分学}}
'''降次积分法'''是求高次函数[[积分]]的一种技巧。先用[[换元积分法]]、[[三角换元法]]、[[分部积分法]]、[[部分分式法]]等方法求出降次公式，将原函数（如I<sub>n</sub>）用低次的函数形式（如I<sub>n-2</sub>）表示。然后将n代成想求的数，逐步降次，直至降至0或1为止，借助[[积分表]]得出结果。

==例子==
如在求<math>\int \cos^5 (x) \, dx\!</math>时，需要先求得<math>\int \cos^n (x) \, dx\!</math>的降次公式，过程如下：

:<math>I_n \, = \int \cos^n (x) \, dx\!</math> 

::<math>= \int \cos^ {n-1} (x) \cos (x) \, dx\!</math> 

::<math>= \int \cos^{n-1} (x) \, d(\sin (x)) \!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x) - \int \sin (x) \, d(cos^{n-1} (x))\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1)\int \sin (x) \cos^{n-2} (x)\sin(x)\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\sin^2 (x)\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)(1-\cos^2 (x))\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\, dx - (n-1)\int \cos^n (x)\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n\,</math>

:<math>I_n  + (n-1) I_n = \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1) I_{n-2} \,</math>

:<math>n I_n = \cos^{n-1} (x) \sin (x) + (n-1) I_{n-2}\,</math>

:<math>I_n = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) \sin (x) + \frac{n-1}{n} I_{n-2} \,</math>
----
因此<math>\int \cos^n (x) \, dx\!</math>可表示为：
:<math>\int \cos^n (x) \, dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) \sin (x) + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} (x) \, dx\!</math>

将n=5代入，可得：
:<math>n=5\,</math>：<math>I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 (x) \sin (x) + \tfrac{4}{5} I_3\,</math>
:<math>n=3\,</math>：<math>I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x) + \tfrac{2}{3} I_1\,</math>

:<math>\because I_1 = \int \cos (x) \, dx = \sin (x) + C_1\,</math>

:<math>\therefore I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x) + \tfrac{2}{3}\sin(x) + C_2\,</math>，<math>C_2 = \tfrac{2}{3} C_1\,</math>

:<math>I_5 = \frac{1}{5} \cos^4 (x) \sin (x) + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x) + \frac{2}{3} \sin (x)\right] + C\,</math>，C为常数

==常见降次公式==
除了上述的<math>\int \cos^n (x) \, dx\!</math>外，常见的降次公式还有：
:<math>\int \sin^n (x) \, dx = - \frac{1}{n} \sin^{n-1} (x) \cos (x) + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} (x) \, dx\!</math>
:<math>\int \tan^n (x) \, dx = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1} (x) - \int \tan^{n-2} (x) \, dx\!</math>
:<math>\int (\ln (x) )^n \, dx = x (\ln (x))^n - n \int (\ln (x))^{n-1} \, dx\!</math>

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