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{{微积分学}}
'''除法定则'''或'''商定則'''是数学中关于两个函数的商的[[导数]]的一个计算定则。

若已知两个[[导数|可導函数]]g,h及其导数g',h'，且h(x)≠0，则它们的商

:<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>

的导数为：

:<math>f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}</math>

==例子==

:<math>\frac{4x-2}{x^2+1}</math>的导数为：

:{|
|-
|<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{4x-2}{x^2+1}\right)</math>
|<math>=\frac{(x^2+1)(4) - (4x-2)(2x)}{(x^2+1)^2}</math>
|-
|
|<math>=\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1)^2}</math>
|-
|
|<math>=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1)^2}</math>
|}

:<math>f(x)=\frac{2x^2}{x^3}</math>的导数为：

{|
|-
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac {\left(4x\cdot x^3 \right) - \left(2x^2\cdot 3x^2\right)} {\left(x^3\right)^2}</math>
|-
|
|<math>=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}</math>
|-
|
|<math>=\frac{-2x^4}{x^6}</math>
|-
|
|<math>=-\frac{2}{x^2}</math>
|}

==证明==

===从牛顿差商推出===
:设<math>f(x) = \tfrac{g(x)}{h(x)}</math>，<math>h(x)\neq 0</math>，且<math>g</math>和<math>h</math>均可导。

:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}</math>

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}</math>

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}</math>

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}</math>

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}</math>

:<math>= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}</math>

:<math>= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}</math>

===从乘积法则推出===
:假设<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>。

:那么<math>g(x) = f(x)h(x) \mbox{  } \,</math>

:<math>g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)\mbox{  } \,</math>

:<math>f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}</math>

:<math>f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}</math>

===从复合函数求导法则推出===
考虑恒等式，v≠0
:<math> \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]</math>

那么：

:<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]</math>

于是：

:<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]</math>

展开，得：

:<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]</math>

最后，把分子和分母同除以4，便得：

:<math>\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}</math>

==参见==
*[[乘法定则]]
*[[鏈式法則]]


[[Category:除法]]
[[Category:求导法则]]