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[[數學]]上，'''陳－韋伊同態'''（{{lang-en|Chern–Weil homomorphism}}）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形''M''的曲率聯繫到''M''的[[德拉姆上同調]]群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由[[陳省身]]和[[安德烈·韋伊]]於1940年代建立，是發展[[示性類]]理論的重要步驟。這個結果推廣了[[廣義高斯－博內定理|陳－高斯－博內定理]]。

記<math>\mathbb K</math>為[[實數|實數域]]或[[複數域]]。設''G''為實或複[[李群]]，有[[李代數]]<math>\mathfrak g</math>，又記

:<math>\mathbb K(\mathfrak g^*)</math>

為<math>\mathfrak g</math>上的<math>\mathbb K</math>-值[[向量空間上的多項式|多項式]]的代數。設<math>\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}</math>為在<math> \mathbb K(\mathfrak g^*)</math>中''G''的[[伴隨表示|伴隨作用]]的不動點的子代數，故對所有<math>f\in\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}</math>有
:<math>f(t_1,\dots,t_k)=f(Ad_g t_1,\dots, Ad_g t_k) \, </math>。

'''陳－韋伊同態'''是從<math>\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}</math>到上同調代數<math>H^*(M,\mathbb K)</math>的一個<math>\mathbb K</math>-代數同態。這個同態存在，且對''M''上任何[[主叢|主''G''-叢]]''P''有唯一定義。若''G''緊緻，則於此同態下，''G''-叢''B''<sup>''G''</sup>的[[分類空間]]的上同調環同構於不變多項式的代數<math>\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}</math>：
:<math>H^*(B^G, \mathbb{K}) \cong \mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}.</math>
對於如SL(''n'','''R''')的非緊緻群，可能有上同調類無不變多項式的表示。

==同態的定義==
取''P''中任何[[聯絡形式]]''w''，設<math>\Omega</math>為相伴的[[曲率]]2-形式。若<math>f\in\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}</math>是''k''次齊次多項式，設 <math>f(\Omega)</math>是''P''上的2''k''-形式，以下式給出

:<math>f(\Omega)(X_1,\dots,X_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{2k}}\epsilon_\sigma f(\Omega(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}),\dots,\Omega(X_{\sigma(2k-1)}, X_{\sigma(2k)}))</math>

其中<math>\epsilon_\sigma</math>是2''k''個數的對稱群<math>\mathfrak S_{2k}</math>中置換<math>\sigma</math>的符號。

（見[[Pfaffian]]）。

可證

:<math>f(\Omega)</math>

是[[閉微分形式|閉形式]]，故

:<math>df(\Omega)=0, \, </math>

且<math>f(\Omega) \, </math>的[[德拉姆上同調]]類獨立於在''P''上的聯絡的選取，故只依賴於主叢。

因此設

:<math>\phi(f) \, </math>

是由上從''f''得出的上同調類，故有代數同態

:<math>\phi:\mathbb K(\mathfrak g^*)^{Ad(G)}\rightarrow H^*(M,\mathbb K). \, </math>

==參考==
* {{citation|last=Bott|first=R.|authorlink=Raoul Bott|title=On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups|journal=Advances in Math| year=1973|volume=11|pages=289–303|doi=10.1016/0001-8708(73)90012-1}}.
* {{citation|last=Chern|first=S.-S.|authorlink=S.-S. Chern|title=Topics in Differential Geometry|publisher=Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes|year=1951}}.
* Shiing-Shen Chern, ''Complex Manifolds Without Potential Theory'' (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
*:The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
* {{citation|last1=Chern|first1=S.-S.|authorlink1=S.-S. Chern|last2=Simons|first2=J|authorlink2=James Harris Simons|title=Characteristic forms and geometric invariants|journal=The Annals of Mathematics. Second Series|volume=99|number=1|year=1974|pages=48–69|jstor=1971013}}.
* {{citation|last1=Kobayashi|first1=S.|last2=Nomizu|first2=K.|title=[[Foundations of Differential Geometry]], Vol. 2|publisher=Wiley-Interscience|year=1963|publication-date= new ed. 2004}}.
* {{citation|last1=Narasimhan|first1=M.|last2=Ramanan|first2=S.|title=Existence of universal connections|journal=Amer. J. Math.|volume=83|year=1961|pages=563–572|jstor=2372896|doi=10.2307/2372896}}.
* {{citation|last1=Morita|first1=Shigeyuki|title=Geometry of Differential Forms|journal=A.M.S monograph|volume=201|year=2000}}.

{{DEFAULTSORT:C陳－韋伊同態}}
[[分類:微分幾何]]